Выбор показателей надежности является конкретной задачей, решение которой существенным образом зависит от характера технического объекта, его назначения и общих требований к процессу и результатам его функционирования.
Показатели надежности в зависимости от уровня рассматриваемого объекта удобно подразделять на оперативные и технические. Оперативными показателями надежности удобно характеризовать системы – это показатели, характеризующие качество функционирования системы с точки зрения потребителя.
Технические показатели имеют своеобразный и технологический характер: они нужны для использования в дальнейших расчетах или статических оценках. Эти показатели назначаются для подсистем (элементов).
Выбор вида показателей зависит в основном от общего назначения системы, но на него может влиять также и степень важности или ответственности функций, выполняемых системой.
Выбирая показатели надежности для технического объекта, следует иметь в виду некоторые простые и очевидные рекомендации:
1)общее число показателей надежности для технического объекта должно быть по возможности минимальным;
2)следует избегать сложных комплексных показателей, получаемых при вводе каких-либо сверток критериев (например, взвешиванием с различными «весами»);
3)выбранные показатели должны иметь простой физический
смысл;
4)выбранные показатели надежности должны допускать возможность проведения подтверждающих (проверочных) оценок на этапе проектирования (аналитических расчетов или имитационного моделирования);
5)выбранные показатели надежности должны допускать возможность статической (опытной) оценки при проведении специальных испытаний или по результатам эксплуатации;
6)выбранные показатели должны допускать задание норм надежности в количественной форме.
Оценки надежности РЭА всегда имеют прочностной характер, поэтому для них используются вероятностные показатели.
Важнейшей характеристикой надежности является вероятность безотказной работы p(t) – вероятность того, что случайная величина –
186
время tф функционирования РЭА до отказа – будет не меньше заданного интервала времени t (или, что то же самое, вероятность того, что в пределах заданной наработки отказы в РЭА не возникнут)
p(t) p(tф t). |
(87) |
Полагая, что в момент включения РЭА работоспособна: p(0)=1, можно заметить, что p(t) есть монотонно убывающая функция, причем p(∞)=0; в любой аппаратуре когда-нибудь произойдет отказ).
С вероятностью безотказной работы p(t) однозначно связана функция Q(t) – вероятность отказа РЭА на интервале времени
Q(t) 1 p(t), |
(88) |
где p(t) и Q(t) есть интегральные функции распределения случайной величины tф. Часто надежность удобнее характеризовать плотностью вероятности отказов f(t)
f (t) |
dQ(t) |
|
dP(t) |
. |
(89) |
||
|
|
||||||
|
dt |
|
|
dt |
|
||
Используя функцию f(t), запишем: |
(90) |
||||||
|
|
t |
|||||
Q(t) |
f (t)dt, |
||||||
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
(91) |
|
|
|
|
|||||
P(t) |
f (t)dt. |
||||||
|
|||||||
t
Выражение (91) легко получить, если помнить, что f(t) удовлетворяет условиям нормировки:
|
(92) |
|
f (t)dt 1, |
||
|
||
0 |
|
(т.е. при неограниченном увеличении времени t отказ обязательно произойдет). Подставляя (90) и (92) в (88), получим (91).
___
Часто используется величина T , которая называется средним временем безотказной работы
___ |
|
T |
tf (t)dt. |
|
0 |
Как следует из ее определения, ожидание наработки до первого отказа. получим (с учетом (89))
(93)
это есть математическое Интегрируя (93) по частям,
___ |
|
|
T t p(t) |
0 p(t)dt |
(94) |
|
0 |
|
или
187
___ |
|
(95) |
T |
p(t)dt . |
|
|
0 |
|
Важной характеристикой надежности является дисперсия среднего времени безотказной работы:
2 |
t2 |
f (t)dt [ t f (t)dt]2 . |
(96) |
T |
0 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
Второе слагаемое в правой части (96) есть [ p(t)dt]2 . Первое
0
слагаемое двукратным интегрированием по частям проводится к виду:
t2 |
f (t)dt 2 tp(t)dt. |
(97) |
0 |
0 |
|
Тогда для значения 2 можно записать:
T2 2 t p(t)dt [ p(t)dt]2 . |
(98) |
|
0 |
0 |
|
До сих пор, мы, рассматривая функцию f(t), не делали никаких предположений о работоспособности РЭА до интересующего нас интервала времени. Очевидно, что в зависимости от того, в каком состоянии находилась РЭА до этого интервала будет меняться и значение вероятности безотказной работы. Для того, чтобы учесть это обстоятельство введена ещё одна характеристика надежности, которая получила название интенсивности отказов и широко используется на практике.
Интенсивность отказов определяется выражением [8, С. 9]:
(t) |
f (t) |
. |
(99) |
|
|||
|
p(t) |
|
|
Величина (t)есть вероятность того, что РЭА откажет в момент времени, при условии, что до этого момента отказов не было. Ясно, что (t)положительна на всем интервале времени t≥0, а при t=0
(t) f (t)(т.к. p(0)=1).
Найдем вероятность безотказной работы, используя функцию(t). С учетом (89) выражение (99) можно переписать в виде
(t) |
d[ln p(t)] |
, |
(100) |
|
|||
|
dt |
||
что после интегрирования обеих частей по t, дает: |
|
||
|
t |
|
|
p(t) exp[ (t)dt]. |
(101) |
||
0 |
|
|
|
188 |
|
|
|
Если (t)= const, то (101) представляет собой экспоненциальный закон надежности. По этому закону вероятность исправной работы элементов, обладающих интенсивностью отказов , убывает со временем по экспоненциальной кривой.
По аналогии с (101) можем записать:
|
t2 |
|
|
p(t2,t1) exp[ (t)dt]. |
(102) |
||
|
t1 |
|
|
С другой стороны |
p(t ) |
|
|
p(t2 ,t1) |
|
||
2 |
, |
(103) |
|
p(t ) |
|||
|
1 |
|
|
где p(t1), p(t2) – вероятности безотказной работы в начале и в конце интервала, соответственно.
Если РЭА состоит из нескольких блоков, причем вероятность безотказной работы каждого блока на интервале времени t равна pi, а отказы статистически независимы, то для вероятности безотказной работы РЭА можно записать:
n |
|
p(t) pi , |
(104) |
i 1 |
|
Если отказы нельзя считать статистически независимыми событиями, то для определения p(t) можно применить формулу полной вероятности:
n |
A |
). |
|
|
P(A) p(Hi ) p( |
(105) |
|||
|
||||
i 1 |
Hi |
|||
Вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Hi-P(Hi) при выполнении одного из которых может произойти событие А, на условную плотность вероятности события А при осуществлении события Hi-P(A/Hi).
Для оценки надежности реальных объектов могут быть использованы большинство известных законов распределения случайных величин, если только они удовлетворительно аппроксимируют наблюдаемые процессы. С этой точки зрения наибольшее применение при оценке надежности РЭА нашли следующие законы: Пуассона, биноминальный, Вейбулла, усеченный нормальный, логарифмически нормальный. [7, С. 11],
Закон Пуассона описывает случайные события, появляющиеся на интервале времени t с большой частотой, но в каждом случае с
189
малой вероятностью Pi(t)
P(t) |
( t)n |
exp( t), |
(106) |
|
n! |
||||
|
|
|
где n — число появлений события, — параметр закона Пуассона. Характерным признаком закона Пуассона является равенство дисперсии и математического ожидания. Закон Пуассона
применяется, например, при оценке ремонтируемых изделий.
Закон Пуассона является частным случаем более общего — биноминального закона распределения, который позволяет оценить вероятность появления некоторого события А равно n раз в серии из m опытов:
P(A) Cmn Pn (1 p)m n |
m! |
|
Pn (1 p)m n , |
(107) |
|
n!(m n)! |
|||||
|
|
||||
где p — вероятность появления события А в одном опыте; Cmn - число сочетаний из m по n.
Биноминальный закон распределения применяется, в основном, при статическом контроле.
Закон Пуассона и биноминальный закон описывают распределение дискретных случайных величин. Рассмотрим теперь законы, описывающие распределение непрерывных случайных величин.
Экспоненциальный закон распределения является частным случаем более общего закона распределения Вейбулла, однако, вследствие его практической ценности, его обычно рассматривают отдельно. Плотность распределения f(t)равна
f(t) exp( t). (108)
Характерной особенностью экспоненциального распределения является: const , t≥0
|
|
P(t) f (t)dt exp( t). |
(109) |
t |
|
Экспоненциальный закон распределения широко используется для оценки показателей надежности на этапе нормальной эксплуатации в том случае, когда интенсивность отказов можно считать постоянной величиной.
Закон распределения Вейбулла является обобщением экспоненциального распределения. Плотность распределения f(t)
f (t) |
1 |
t |
1 |
|
t |
|
|
||
|
|
|
exp( |
|
) |
. |
(110) |
||
|
|
|
|||||||
190