Материал: Михайленко Е.В. Математика. Ч. 1. Элементы общей алгебры

Следствие 2. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число Х равносильно умножению определителя на это число X.

Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя можно вынести за знак этого определителя. (Это следствие вытекает из свойства 3).

Следствие 3. Если все элементы некоторой строки или некоторого столбца определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. (Это следствие вытекает из предыдущего).

Следствие 4. Если элементы двух строк или двух столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Всамом деле, в силу следствия 2, множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю согласно следствию 1.

Следствие 5. Если к элементам некоторой строки или некоторого столбца определителя прибавить соответствующие элементы другой строки или другого столбца, умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится.

Всамом деле, полученный в результате указанного прибавления определитель можно, в силу свойства 3, разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю, в силу пропорциональности двух строк или столбцов и следствия 4.

Замечание. Следствие 5, как и линейное свойство, допускает более общую формулировку, которую мы приведем для строк: если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы строки, являющейся линейной комбинацией нескольких других строк этого определителя (с какими угодно коэффициентами), то величина определителя не изменится.

Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении определителей.

71

Теперь мы можем сформулировать последнее свойство определителей, как свойство алгебраических дополнений соседних строк (или столбцов).

4) Сумма произведений элементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки (любого другого столбца) равна нулю.

4.4. Ранг матрицы Понятие ранга матрицы и базисных миноров

Пусть дана матрица A, состоящая из m строк и n столбцов. Произвольным образом выделим k строк и k столбцов. Элементы, находящиеся на пересечении выделенных строк и столбцов образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель полученной матрицы называется минором k-го порядка матрицы

A:

Миноров k-го порядка можно создать несколько, если только исходная матрица сама не является квадратной k-го порядка. При этом максимальный порядок миноров не будет превышать меньший порядок самой матрицы.

Из всех возможных миноров матрицы A выделим миноры отличные от нуля, тогда из всех ненулевых миноров можно найти, по крайней мере, один минор наибольшего порядка.

Наибольший порядок миноров матрицы A, отличных от нуля, называется рангом матрицы A, а отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы A, называется базисным минором.

Столбцы и строки матрицы, участвующие в образовании базисного минора, обычно называются базисными столбцами и базисными строками. У каждой матрицы может быть один или несколько базисных миноров.

72

Метод окаймляющих миноров

Определение ранга матрицы можно произвести методом окаймляющих миноров. Метод использует достаточно простой алгоритм.

1.Будем считать, что ранг матрицы не меньше единицы, если матрица содержит хотя бы один ненулевой элемент.

2.При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков.

3.Если найден минор k-го порядка, определитель которого отличен от нуля, то требуется вычислить миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие этот минор.

4.Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Пример. Найдем ранг матрицы A порядков 6 и 7.

Ранг матрицы больше нуля, поскольку матрица содержит ненулевые элементы. Переходим к минорам больших порядков. Найдем хотя бы один минор второго порядка. Если двигаться от левого верхнего угла, то можно взять минор, полученный выделением второй, третьей строк и второго, третьего столбцов:

Рассмотрим окаймляющие миноры порядка 2 + 1 = 3. При добавлении, например, четвертой строки и четвертого столбца получим минор третьего порядка:

Рассмотрим окаймляющие миноры порядка 3 + 1 = 4. При добавлении,

например, пятой строки и пятого столбца получим минор четвертого порядка:

73

Все миноры, окаймляющие минор M4, равны нулю. Ранг матрицы A, таким образом, равен четырем.

Выясним, является ли матрица невырожденной, для этого вычислим определитель этой матрицы:

Определитель не равен нулю, поэтому для матрицы A существует обратная. Найдем все алгебраические дополнения матрицы A.

Матричное счисление является мощным математическим инструментом в руках компетентного специалиста, который для получения оптимальных решений в своей области рассматривает проблему в комплексе, используя методы математической статистики, системного анализа, опирается на большие массивы наблюдений, качественных и количественных показателей.

75