Материал: Михайленко Е.В. Математика. Ч. 1. Элементы общей алгебры
Направляющие косинусы любого вектора всегда связаны соотношением
cos2 cos2 cos2 |
1. |
Сумма и разность векторов a и b имеют вид: |
|
a b (ax bx ;ay by ;az bz ) или a b (ax |
bx )i (ay by )j (az bz )k ; |
a b (ax bx ;ay by ;az bz ) или a b (ax |
bx )i (ay by )j (az bz )k . |
Координаты точки
Рассмотрим теперь связь между координатами вектора и координатами точки. Если перенести в постоянную точку О (начало координат) три единичных вектора i , j,k , попарно перпендикулярных друг другу, то получится прямоугольная декартовая система координат. Каждой точке M
однозначно соответствует вектор r OM , который называется радиус-вектором точки M.
|
k |
M |
|
|
r |
|
|
|
O |
j |
|
|
i |
|
|
Декартовы |
координаты |
вектора OM |
называются декартовыми |
координатами точки M. |
|
|
|
Вектор P1P2 |
, имеющий начало в точке P1 |
и конец в точке P2 может быть |
|
записан в виде |
|
|
|
|
P1P2 r2 r1 , |
|
|
где r2 - радиус-вектор точки P2, |
а r1 - радиус-вектор точки P1. Разложение |
||
вектора P1P2 по ортам поэтому имеет вид |
|
||
P1P2 (x2 x1)i (y2 y1)j (z2 z1)k .
81
Пример. Найти длину и направляющие косинусы вектора a AB CD , если заданы координаты точек
A(-3; -5; -5); B(-6; -4; -9); C(-7; -4; 2); D(-7; -7; -2).
Решение. Найдем координаты вектораAB
AB ( 6 ( 3))i ( 4 ( 5)) j ( 9 ( 5))k 3i j 4k
или
AB ( 3;1; 4).
Найдем координаты вектораCD
CD ( 7 ( 7))i ( 7 ( 4)) j ( 2 2)k 0i 3j 4k
или
|
|
|
CD (0; 3; 4). |
|
Тогда искомый вектор a имеет координаты |
|
|||
a AB CD ( 3 0)i (1 ( 3))j ( 4 ( 4))k 3i |
2j 8k . |
|||
Найдем длину вектора a |
|
|||
|
a |
|
a ( 3)2 ( 2)2 ( 8)2 9 4 64 77. |
|
|
|
|
||
Зная координаты вектора a и его длину, находим направляющие косинусы:
cos aax 773 ; cos aay 772 ; cos aaz 778 .
Выбирая вместо i , j,k три любых линейно независимых вектора e1, e2 ; e3 , получим косоугольную систему координат. Аффинные координаты вектора
OM называются координатами точки М.
82
5.3. Векторные произведения Скалярное произведение
Скалярным произведением двух векторов a , b , обозначаемое a b или (a,b) называется произведение их длин на косинус угла между ними:
a b a
b cos ab cos (a,b),
b
a
где – угол между векторами a и b .
|
|
Свойства скалярного произведения |
1. |
a a a2 |
или a 2 a2 ; |
2. |
a b 0, |
если a 0, либо b 0, либо a b ; |
3.a b b a - коммутативность;
4.a (b c) a b a c - дистрибутивность;
5. (ma) b a (mb) m (a b) - ассоциативность относительно скалярного множителя.
Пусть заданы два вектора: a axi by j cz k и b bxi by j bz k .
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i , j,k.
|
i |
j |
k |
i |
1 |
0 |
0. |
j |
0 |
1 |
0 |
k |
0 |
0 |
1 |
Из предложенной таблицы скалярные произведения ортов осей координат:
i 2 j 2 k 2 1; i j i k j k 0.
83
Если a x1i y1 j z1k и b x2i y2 j z2k , то скалярное произведение в координатной форме имеет вид:
a b x1x2 y1 y2 z1z2 .
Пример. Найти угол между векторами x KL и y MN с помощью скалярного произведения, если заданы координаты точек
K(-5; -4; -7); L(1; -7; 4); M(3; -3;-7); N(0; -3; -6).
Решение. Найдем координаты вектораKL
|
KL (1 ( 5))i ( 7 ( 4)) j (4 ( 7))k 6i |
3j 11k |
или KL (6; 3;11). |
|||
Найдем координаты вектораMN |
|
|
|
|||
|
MN (0 3)i ( 3 ( 3)) j ( 6 ( 7))k 3i |
0j k |
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
MN ( 3;0;1). |
|
|
|
|
Т.к. |
x y xy cos , то cos |
x y |
. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
xy |
|
|
|
|
x y KL MN 6 ( 3) ( 3) 0 11 1 18 11 7; x x KL 62 ( 3)2 112 
36 9 121 
166 ;
y y MN ( 3)2 02 12 
9 0 1 
10 .
Следовательно,
cos |
7 |
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
и |
arccos |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||
|
166 10 |
|
2 |
415 |
|
|
2 415 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторное произведение |
|
Под векторным произведением двух векторов a , b , обозначаемым a b |
или a,b , понимают вектор c , определяемый следующим образом: |
|
1. |
Модуль вектора c равен площади параллелограмма, построенного на |
|
векторах a и b (c ab sin , где – угол между векторами a и b ). |
2. |
Вектор c перпендикулярен к векторам a и b . |
|
84 |
3.Векторы a , b , c после приведения к общему началу образуют правую тройку векторов.
c
b
a
Свойства векторного произведения
1.a b b a - антикоммутативность;
2.a b 0, если a 0, либо b 0, либо a 
b ;
3.a (b c) a b a c - дистрибутивность;
4. (ma) b a (mb) m (a b) - ассоциативность относительно скалярного множителя.
Векторные произведения координатных ортов: i i j j k k 0;
i j j i k ; |
j k k j i ; |
k i i k j . |
|||||
Если a x1i y1 j z1k |
и b x2i |
y2 j z2k , то векторное произведение |
|||||
в координатной форме можно находить по формуле: |
|
||||||
|
a b |
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x1 |
y1 |
z1 |
. |
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
|
|
Пример. С помощью векторного произведения найти площадь треугольника с вершинами в точках
E(-2; 2; -4);F(-4; -8; -8); G(1; 4;8).
Решение. Для решения задачи найдем координаты векторов, исходящих из одной точки, например, E.
Найдем координаты вектораEF
85