Материал: Михайленко Е.В. Математика. Ч. 1. Элементы общей алгебры

Глава 5. Векторная алгебра

Величины, значения которых могут быть выражены действительными числами, называются скалярами (например, масса, заряд, температура, работа

ит.п.). Величины, значения которых определяются как числовым значением, так и направлением в пространстве, называются векторами (например, скорость, ускорение, сила, напряженность электрического и магнитного полей

ит. д.).

5.1.Основные определения вектрной алгебры

Геометрический вектор – это направленный отрезок в пространстве

(обозначается: P1P2 ; a , b , c , …, здесь Р1 – начальная точка, Р2 – конечная точка вектора). Длина вектора a называется его модулем и обозначается a .

P2

a

P1

Единичные векторы – это векторы, длина которых равна единице. Единичный вектор, имеющий то же направление, что и вектор a , обозначают

a0 .

Нулевой вектор 0 – это вектор, начало и конец которого совпадают: его модуль равен нулю, направление неопределенное.

Два вектора считаются равными, если равны их модули и совпадают их направления.

Векторы, которые получаются из данного вектора a путем параллельного переноса (все такие векторы равны a ), называют свободными векторами, порождаемыми вектором a . Векторы, которые получаются из a путем

переносить по физическим причинам (постоянная точка приложения), то говорят о связанном векторе.

Умножение вектора на скаляр

Если α – действительное число и a – вектор, то произведение αa также есть вектор с длиной |α| a и направлением, совпадающим с направлением вектора a при α > 0, и с направлением, противоположным направлению вектора a при α < 0. В частности, -a имеет длину, равную a , но противоположное направление.

Векторы a0 и a называются коллинеарными, причем a = |a |a0 . Считается, что 0 a = 0.

Сложение векторов

Сумма a +b двух векторов a , b определяется следующим образом: a и b складываются при помощи параллельного переноса; вектор a +b есть вектор, который имеет начало, совпадающее с началом a , и конец, совпадающий с

a и –b .

77

Свойства действий с векторами

1.a +b = b +a - коммутативность сложения;

2.a +(b +c ) = (a +b )+c - ассоциативность сложения;

3.α(βa ) = (αβ) a - ассоциативность умножения;

4.(α+β) a = αa + βa – дистрибутивность суммы коэффициентов;

5.α(a +b ) = αa + αb – дистрибутивность суммы векторов;

6.a b a b a b .

Линейная комбинация векторов

Под линейной комбинацией векторов a , b , ..., z с действительными коэффициентами α, β ..., ω понимают вектор, имеющий вид:

e a b ... z .

Два вектора a и b называются коллинеарными, если имеются такие действительные числа α, β, что αa +βb = 0, причем α, β не равны одновременно нулю (геометрический смысл: прямые, проходящие в направлениях a и b , параллельны).

Три вектора a , b , c называются компланарными, если существуют такие действительные числа α, β, γ, что αa + βb + γc = 0 и α, β, γ не являются одновременно нулями (геометрический смысл: a , b , c параллельны одной плоскости).

Если векторы a и b не коллинеарны или a , b , c не компланарны, то их называют линейно независимыми на плоскости или в пространстве.

Два ненулевых вектора a , b ортогональны (обозначение: a b ), если они взаимно перпендикулярны. Такие векторы всегда линейно независимы. Три

78

попарно ортогональных ненулевых вектора a , b , c также образуют тройку линейно независимых векторов.

2. Координаты вектора

Если заданы три линейно независимых вектора e1, e2 ; e3 , то каждый вектор a можно однозначно представить в виде:

a a1e1 a2e2 a3e3.

Величины ai , где i = 1, 2, 3 называются аффинными (или

контравариантными) координатами вектора a относительно e1, e2 ; e3 . Это кратко записывается так:

a = ( a1 , a 2 , a3 ).

Равные векторы, т. е. векторы, совпадающие при параллельном переносе, обладают одинаковыми аффинными координатами.

Если a = ( a1 , a 2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ), то справедливы следующие соотношения:

αa = (αa1 , αa 2 , αa3 ); a b (a1 b1;a2 b2;a3 b3).

Векторы e1, e2 ; e3 образуют правую систему координат, если они имеют такую же ориентацию, как соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки. В противном случае говорят о левой системе координат.

Если заданы два линейно независимых вектора e1, e2 лежащие в одной плоскости, то каждый вектор a , лежащий в этой плоскости, можно однозначно представить в виде a a1e1 a2e2 .

79

e2

a a1e1 a2e2

e1

Если, в частности, в качестве e1, e2 ; e3 выбирают правую систему из трех единичных векторов i , j,k попарно перпендикулярных друг другу, то

a axi ay j az k

и ax , ay , az , называются прямоугольными декартовыми координатами вектора a или проекциями вектора a на соответствующие оси координат. Такое представление вектора a называется его разложением по декартовым осям координат или разложение по ортам. Векторы axi , ay j и az k в виде суммы которых представлен вектор a , называются составляющими (компонентами) вектора a по осям координат.

Справедливы следующие соотношения. Длина (модуль) вектора a a a ax 2 ay 2 az 2 .

Произведение вектора a на скалярный множитель α

αa = (αax , αay , αaz ) или a axi ay j az k .

Направление вектора a определяется углами α, β, γ, образованными им с