Материал: Михайленко Е.В. Математика. Ч. 1. Элементы общей алгебры
EF ( 4 ( 2))i ( 8 2) j ( 8 ( 4))k 2i 10j 4k
или EF ( 2; 10; 4).
Найдем координаты вектораEG
EG (1 ( 2))i (4 2) j (8 ( 4))k 3i 2j 12k или EG (3;2;12).
Площадь треугольника EFG равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах EF и EG . Поэтому находим векторное произведение этих векторов
|
i |
|
j |
k |
|
|
10 |
4 |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
2 |
10 |
|
|||||
EF EG |
2 |
|
10 |
4 |
|
|
|
|
|
112i 12j 26k . |
||||||||||||||
|
i |
|
2 |
12 |
|
j |
|
3 |
12 |
k |
|
3 |
|
2 |
|
|||||||||
|
3 |
2 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
SEFG 1 |
|
EF EG |
|
1 |
|
|
( 112)2 |
|
122 262 |
|
13364 115,6. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
Смешанное произведение |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Смешанным произведением векторов a , |
b и |
c |
|
называется скалярное |
||||||||||||||||||||
произведение вектора a b на вектор c : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a b) c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Смешанное произведение трех векторов a , b , |
c |
численно равно объему |
||||||||||||||||||||||
параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если векторы a , b и c образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку (в правой системе координат).
V
c
b
a
86
Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если а) хоть один из перемножаемых векторов равен нулю; б) два из перемножаемых векторов параллельны (коллинеарны);
в) все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны).
2. Смешанное произведение не изменяется, если в нем поменять местами знаки векторного ( )и скалярного () умножения, т. е.
(a b) c a (b c).
В силу этого свойства смешанное произведение векторов |
a , b и |
c |
||||||
записывается в виде abc . |
|
|
|
|
|
|
||
3. Смешанное |
произведение не |
изменяется, |
если |
переставлять |
||||
перемножаемые векторы в круговом порядке: |
|
|
|
|
||||
|
|
abc bca cab . |
|
|
|
|
||
4. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение |
||||||||
изменяет только знак: |
|
|
|
|
|
|
||
abc bac ; |
abc cba ; |
abc acb . |
|
|||||
Если |
векторы |
заданы их |
разложением по |
ортам |
a x1i |
y1 j z1k |
и |
|
b x2i y2 j |
z2k , |
c x3i y3 j |
z3k , |
то смешанное |
произведение |
в |
||
координатной форме имеет вид:
|
|
x1 |
y1 |
|
|||
|
|
x2 |
y2 |
abc |
|||
|
|
x3 |
y3 |
z1 z2 . z3
Из свойств смешанного произведения следует:
а) необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов служит условие abc 0;
б) объем V1 параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c , и объем V2, образованной ими треугольной пирамиды, находятся по формулам:
V1 |
|
a b c |
|
; |
V2 |
|
1V1 |
|
1 |
|
a b c |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
87 |
|
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Используя смешанное произведение векторов найти объем треугольной пирамиды с вершинами в точках
O(8;-4; 0);P(-4; -5; -7); R(0; -1; 7); Q(1; 5; 7).
Решение. Для решения задачи найдем координаты векторов, исходящих из одной точки, например O.
Найдем координаты вектораOP
OP ( 4 8)i ( 5 ( 4))j ( 7 0)k 12i |
j 7k |
|
|
|||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OP ( 12; 1; 7). |
|
|
|
|
|
||||||||||
Найдем координаты вектораOR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
OR (0 8)i ( 1 ( 4))j (7 0)k 8i 3j 7k |
или OR ( 8;3;7). |
|||||||||||||||||||
Найдем координаты вектораOQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
OQ (1 8)i (5 ( 4))j (7 0)k 7i |
9j 7k |
или OQ ( 7;9;7). |
||||||||||||||||||
Найдем смешанное произведение этих векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
12 |
1 |
7 |
|
12 |
|
3 |
7 |
|
( 1) |
|
8 7 |
|
( 7) |
|
8 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
V OP OR OQ |
8 |
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
9 |
7 |
|
|
|
|
7 |
7 |
|
|
|
7 |
9 |
|
|
7 |
9 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12 ( 42) 1 ( 7) 7 ( 51) 504 7 357 854.
Следовательно, объем пирамиды равен
Vпир 16 V1 16 854 14213 .
|
Пример. Представить вектор a ( 10;12;23) |
через линейную комбинацию |
|||||||
векторов b,c,d , проверив их компланарность. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
b (5; 9; 3); |
c ( 2;5;5); |
d ( 9; 1; 8) |
||
|
Решение. Найдем смешанное произведение векторов b,c,d |
||||||||
b c d |
|
|
5 |
9 |
3 |
|
5 ( 40 5) 9 (16 45) 3 (2 45) 175 549 141 233 0. |
||
|
|
||||||||
|
|
2 |
5 |
5 |
|
||||
|
|
|
9 |
1 |
8 |
|
|
|
|
88
Так как смешанное произведение не равно нулю, то вектора b,c, d
некомпланарны. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вектор |
a через линейную комбинацию векторов b,c,d представим в |
||||||||||
виде: a xb yc zd . В координатной форме имеем: |
|||||||||||
10 |
|
|
5 |
|
2 |
|
|
9 |
|||
|
|
|
|
9 |
|
|
5 |
|
|
1 |
|
12 |
|
x |
|
y |
|
z |
. |
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
8 |
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Получаем систему линейных алгебраических уравнений
5x 2y 9z 10;
9x 5y z 12;3x 5y 8z 23.
Решим систему методом Крамера.
|
|
|
5 |
2 |
9 |
|
|
|
|
||||||
det A |
|
9 |
5 |
1 |
233; |
||
|
|
|
3 |
5 |
8 |
|
|
|
10 |
2 |
9 |
|
|
||
|
|
|
|||||
det x |
12 |
5 |
1 |
|
10 ( 40 5) 2 ( 96 23) 9 (60 115) |
||
|
23 |
5 |
8 |
|
|
||
350 146 495 699;
510 9
det y 9 |
12 |
1 |
5 ( 96 23) 10 (72 3) 9 ( 207 36) |
3 |
23 |
8 |
|
365 690 1539 1864;
52 10
det z 9 |
5 |
12 5 (115 60) 2 ( 207 36) 10 ( 45 15) |
3 |
5 |
23 |
275 342 300 233.
Тогда
x |
det x |
|
699 |
3; |
y |
det y |
|
1864 |
8; |
z |
det z |
|
233 |
1. |
|
det A |
233 |
det A |
233 |
det A |
233 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, представление вектора a через линейную комбинацию векторов b,c,d имеет вид
a 3b 8c d .
89
Глава 6. Комбинаторика
Задачи выбора элементов изучаемых объектов и размещения их в заданном порядке возникают и решаются во многих отраслях науки, промышленности, социальной и правоохранительной сферах деятельности человека. Для развития современных научных направлений математики, физики, химии, биологии, информатики, экономики, создания новых промышленных, строительных и сельскохозяйственных технологий, коммуникаций и средств обработки информации, формирования эффективных методов защиты информации невозможно обойтись без определения количества способов отбора изучаемых объектов, порядка расположения элементов в структурных множествах, распределения имеющихся ресурсов. Такими проблемами занимается комбинаторика.
Комбинаторика – раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов (подмножеств) некоторого дискретного множества в соответствии с заданными правилами. Термин «комбинаторика» имеет происхождение от латинского «combina», что означает – «сочетать», «соединять».
Комбинаторика изучает не сами свойства выбранного множества или его элементов, а определяет методы нахождения количества комбинаций, выполнения различных действий над изучаемыми объектами, способов выбора, группировки и расположения элементов множества, подчиненные тем или иным условиям.
Комбинаторные методы лежат в основе решения большинства задач теории вероятностей, математической статистики, эффективно применяются в алгебре, геометрии, информатике, теории кодирования, схемотехнике, используются целом ряде разделов механики, оптики, электродинамики, ядерной и квантовой физики, в молекулярной и аналитической химии, генетике, имеют широкий спектр применения в военных науках, криминалистике, социологии и экономике.
90