Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013

интеграл равен сумме соответствующих интегралов, и поэтому I может принимать значения 2πi и −πi . Если контур охватывает все 3 точки, то, соответственно, интеграл равен 0. Также он равен 0, если контур не охватывает ни одной из данных точек. Таким образом, все возможные значения интеграла сводятся к числам: −2πi ,

−πi , 0, πi , 2πi .

z4 −1 =(z −1)(z +1)(z −i)(z +i) . Контур – окружность радиуса a >1 с

центром в точке a (рис. 6.6).

Таким образом, внутри контура находится только точка z = 1. По интегральной формуле Коши

если точка a лежит внутри контура С.

Решение. Так как n-я производная интеграла Коши вычисляется по формуле

f (n) (z0 ) = n! ∫ − n+1 ,

2πi C (z z0 )

то, воспользовавшись этой формулой при n = 2, получим

2! ∫ f (z)dz =

2πi C (z −a)3 f ''(a) ,

где f (z) = zez . Вычислим эту производную:

86

f '(z) = zez +ez ; f "(z) = zez +2ez =ez (z +2) .

Пример 6.15 ([3], № 3.34). Функция f (z) аналитическая в об-

ласти, ограниченной простым замкнутым контуром С, содержащим внутри себя начало координат. Доказать, что при любом выборе ветви Ln z

21πi C∫ f '(z)Ln zdz = f (z0 ) − f (0) ,

где z0 – начальная точка интегрирования.

Решение. Выбрав в качестве начала интегрирования произвольную точку z0 ≠ 0 и интегрируя какую-либо ветвь логарифма:

Ln z = ln z +iφ+i2πk , воспользуемся формулой Ньютона–Лейб- ница. Учтем при этом, что при обходе начала координат и возвра-

Пример 6.16. Вычислить интегралы по замкнутому контуру, пользуясь интегральной формулой Коши:

sin πz dz

1) ∫ 4 , где C : x2 + y2 −2x =0;

C z2 −1

87

Решение.

1) Запишем уравнение контура С в виде (x −1)2 + y2 =1 - окруж-

ность с центром в точке с координатами х = 1, у = 0 и радиусом 1. Интеграл можно представить в виде

По формуле Коши (один раз продифференцированной)

88

Таким образом, искомый интеграл равен π2 (iπ−1) .

Рекомендуемый перечень задач для решения в аудитории:

6.1 ([3], № 3.2 (1)); 6.2 ([3], № 3.3 (вычислить интеграл I1)); 6.3 ([3], № 3.4 (1, 2)); 6.7 (1); 6.8 ([3], № 3.8 (1, 4));

6.9 ([3], № 3.9 (1)); 6.10 (1); 6.11 ([3], № 3.27); 6.13 ([3], № 3.30);

6.14([3], № 3.32); 6.16 (1).

Резерв:

6.4([3], № 3.5); 6.5 ([3], № 3.6); 6.6 ([3], № 3.7); 6.10 (3);

6.15([3], № 3.34).

Для самостоятельной работы дома:

6.1 ([3], № 3.2 (3)); 6.2 ([3], № 3.3 (вычислить интеграл I2)); 6.3 ([3], № 3.4 (3, 4)); 6.7 (2); 6.8 ([3], № 3.8 (2, 5)); 6.9 ([3], № 3.9 (2, 3, 4)); 6.10 (2); [3], № 3.33; 6.16 (2).

89

7. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РЯД ТЕЙЛОРА

Ряд

∞

a1 + a2 + ... + an + ... = ∑an ,

n=1

где аk = αk + iβk – комплексные числа, называется комплексным числовым рядом. Ряд сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды из действительных и, соответственно, мнимых частей членов

что определяет сохранение основных свойств действительных числовых рядов применительно к рядам комплексным. Суммой ряда

вообще говоря, неверно. В случае сходимости ряда из модулей

Абсолютная сходимость ряда определяется по признакам Да-

ламбера и Коши. Соответственно, если lim | an+1 |= q < 1 , то ряд аб-

n→∞ an

солютно сходится, если q > 1 – ряд расходится (признак Даламбе-

ра). Если lim n | an | = q < 1 , то ряд сходится, если q > 1 – ряд расхо-

n→∞

дится (признак Коши).

Необходимое условие сходимости ряда: lim an = 0 .

n→∞

∞

Если ряд из функций ∑un (z) сходится в каждой точке области,

n=1

то он называется сходящимся в этой области.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в не-

90