Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013

Решение.

sin2 z =

1 (1−cos 2z) . Используем разложение косину-

са:

2

∞

n

z

2n

∞

n

(2z)

2n

∞

n

2n

z

2n

cos z = ∑(−1)

cos 2z = ∑(−1)

= ∑

(−1)

2

.

n=0

2n!

n=0

(2n)!

n=0

(2n)!

Искомое разложение

sin2 z = 1

− 1

∞

n

2n

z

2n

∞

n+1

2n−1

z

2n

R = ∞ .

∑

(−1)

2

= ∑(−1)

2

;

2 2 n=0

(2n)!

n=0

(2n)!

Пример 7.15 ([3], № 3.71). Разложить

f (z) = (a + z)α(aα = eαln a ) .

Решение. (a + z)α

= aα 1+

z

α

. Воспользуемся разложением

a

∞

−1)..(α−n +1) zn

(R = 1),

(1+ z)α = ∑ α(α

n=0

n!

α

z

α

αln a

∞

α(α−1)..(α−n +1)

z

n

α

∞

α

z n

a

(1

+

)

= e

.

∑

= a

∑

,

a

n!

n=0

a

n=0 n a

α

=

α(α−1)...(α−n +1)

;

R =| a | .

где

n!

n

Пример 7.16 ([3], № 3.72). Разложить

f (z) = z + i , ( i =

1+i

) .

2

Решение. В данной двузначной функ-

ции выделяется однозначная аналитиче-

ская

ветвь

условием

f (0) =

i =

1+i

.

2

Обозначив z + i = reiφ , получим

z +i =

re

iφ+2πki

(k = 0,1) .

2

Рис. 7.1

В точке z = 0 (рис. 7.1) r = 1;

φ =

π

,

2

π

+2 πk

π

1

1+i

f (0) = ei

2

= ei

k = 0 .

eiπk =

(1+i)eiπk =

2

4

2

2

∞

−1)...(α−n

+1)zn ,

(1+ z)α = ∑ α(α

n=0

n!

полагая

z

z

1

2

z +i = i 1+

=

i 1

+

,

i

i

Пример 7.17 ([3], № 3.74). Разложить

z

f (z) =

.

z2 −4z +13

z

=

A

+

B

z2 −4z +13

z

−2 −3i

z −2 +

3i

z = A( z − 2 + 3i) + B( z − 2 + 3i) .

Полагая в

этом

тождестве

последовательно

z = 2 +3i ,

затем

z = 2 −3i , получим:

1

1

1

1

A = 1

− 1 i ,

B =

1

+ 1 i

z

=

2 −

3 i

+

2

+ 3 i

=

2

z2

−4z +13

z −2 −3i

z −2 +3i

2

3

3

1

−

1 i

1

+

1 i

=

2

3

+

2

3

=

z

z

−(2 +3i) 1−

−(2 −3i) 1−

2

+

2

−

3i

3i

=

i

1

−

i

1

.

z

z

6

1−

6

1−

2 +3i

2 −3i

Далее воспользуемся разложением

1

∞

= ∑ zn

(R = 1) .

1− z

Отсюда

n=0

1

∞

zn

1

∞

zn

= ∑

и

=

∑

.

n

1−

z

n=0 (

2 +3i)

1−

z

n=0

(2 −

3i)

2 +3i

2 −3i

Получаем

z

i

∞

zn

zn

=

∑

−

=

z

2

−4z +13

+3i)

n

(2

−3i)

n

6 n=0

(2

i

∞ (2 −3i)n −(2 +3i)n

n

=

∑

n

z

,

R

=

13 .

6 n=0

13

Пример 7.18 ([3], № 3.75). Разложить

f (z)

=

z

2

.

(z +1)2

Решение. Представим функцию f(z) в виде:

z2

=

(z +1−1)2

=

(z +1)2 −2(z +1) +1

=1−

2

+

1

=

(z +1)2

(z +1)2

(z +1)2

z +

1

(z +

1)2

∞

n

n

d

1

∞

n

n

d

∞

n

n

=1−2∑(−1)

z

−

=1−2∑(−1)

z

−

∑(−1)

z

=

dz

z

+1

dz

n=0

n=0

n=0

∞

∞

∞

∞

=1−2∑(−1)n zn −∑(−1)nnzn−1 =1−2∑(−1)n zn −∑(−1)n+1 (n+1) zn =

n=0

n=1

n=0

n=0

∞

∞

∞

= −2∑(−1)n zn +∑(−1)n (n +1)zn = ∑(−1)n (n −1)zn , R =1 .

n=1

n=1

n=2

Пример

7.19

([3], №

3.83).

Разложить

функцию

f (z) =

z

по степеням ( z −1)

и найти радиус сходимости.

z2 − 2z +5

Решение. Преобразуем данную функцию:

f (z) =

z

=

z −1+1

=

z −1

+

1

=

z2 −2z +5

(z −1)2 +4

(z −1)2 +4

(z

−1)2 +4

=

(z −1)

1

+

1

;