Документ: Михайлов ТФКП Практикум 2013, страницы 91-95

Достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса): если для всех n > n0 | un (z) |≤ an

∞

для всех z из некоторой области, где ∑an – сходящийся числовой

n=1

∞

ряд, то ряд ∑un (z) сходится в этой области равномерно. Имеют

n=1

место и другие свойства равномерно сходящихся рядов, известные из теории рядов с действительными функциями действительной переменной.

∞

Степенным рядом называется ряд ∑cn (z − z0 )n , где z0 – некото-

n=1

рое фиксированное комплексное число, z – комплексная переменная, сп – комплексные числа (коэффициенты степенного ряда).

Степенной ряд сходится в своем круге сходимости | z − z0 |< R ,

где R – радиус сходимости степенного ряда, который вычисляется по формуле Коши–Адамара:

R =		1		.
R =	lim n \| c		\|	.
	n→∞	n
	n→∞

Степенной ряд в любом круге радиуса, меньшего радиуса его круга сходимости, сходится абсолютно и равномерно к аналитической функции. Обратно: аналитическая в некотором круге | z − z0 |< R функция f ( z) единственным образом представляется в

этом круге степенным рядом

∞		(n)	(z0 )
f (z) = ∑	f			(z − z0 )n ,
		n!
n=0

называемым рядом Тейлора этой функции.

Приведем некоторые степенные ряды, служащие определением соответствующих функций – их сумм как аналитических продолжений сумм соответствующих действительных рядов с действительной оси на всю комплексную область:

∞

z

n

∞

n

z

2n+1

∞

n

z

2n

∑

= ez ;

∑ (−1)

=sin z; ∑ (−1)

= cos z ,

n!

n=0

(2n +1)!

n=0

2n!

(радиусы сходимости этих рядов R = ∞ );

91

		∞	α(α −1)...(α + n −1)zn = (1+ z)α (R
		∑	α(α −1)...(α + n −1)zn = (1+ z)α (R
		n=0		n!
			∞		n+1	zn = ln(z +1) (R = 1).
			∑ (−1)			zn = ln(z +1) (R = 1).
			n=1	n
	Особо выделим частный случай
				∞				1
				∑ zn =				1	(R = 1).
				∑ zn =			1	− z	(R = 1).
				n=0			1	− z
	Пример 7.1		([3],	№		1.95).			Исследовать
∞	n
∑	n	.
∑	n	.
n=1	(2i)

= 1);

сходимость ряда

Решение. Выясним наличие абсолютной сходимости, например,

по признаку Даламбера: lim	c	= lim	(n +1)2n	=	1	<1	. Ряд сходит-
	n+1		2n+1 n
	c				2
n→∞	c	n→∞			2
	n

ся и притом абсолютно.

Пример 7.2 ([3], № 1.96). Исследовать сходимость ряда

∞

n!

∑

.

n

n=1

(in)

Решение. По признаку Даламбера

lim

(n +1)!nn

= lim

(n +1)nn

= lim

nn

= lim

1

=

1

,

(n +1)n+1 n!

(n +1)n+1

(n +1)n

1

n

e

n→∞

+

1

n

так как e ≈ 2,7 , то

1 <1 . Ряд сходится абсолютно.

e

∞

Пример 7.3 ([3], № 1.97). Исследовать сходимость ряда

∑ein .

n=1

∞

Решение. Так как ein = cos n + i sin n , а ряды ∑cos n и

∑sin n

n=1

∞

расходятся, то расходится и ряд ∑ein .

n=1

∞ ein

Пример 7.4 ([3], № 1.100). Исследовать сходимость ряда ∑n=1 n2 .

92

		e	in		1	∞	1
Решение. Так как	\|			2 \|=		и ряд ∑		сходится, то исходный
		n			2		2
					n	n=1	n

ряд сходится абсолютно.

Пример 7.5 ([3], № 1.103). Исследовать сходимость ряда

∞

cosin

∑

2

n .

n=1

Решение.

en +e−n

∞

cosin

∞

en

e−n

cosin = chn =

; ∑

n

= ∑

+

.

2

n+1

2

n+1

n=1

Ряд представляет собой сумму двух рядов. Первый расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости

lim cn = lim		1	e	n	e
		2		≠ 0			>1	;
						2
n→∞	n→∞		2
второй сходится по признаку Коши

lim n	c	= lim n	e−n	=	e−1	< 1.


n→∞	n	n→∞	2n+1	2

Поэтому ряд из суммы этих двух рядов расходится.

Пример 7.6 ([3], № 1.104). Исследовать сходимость ряда

∞ nsin in

∑n=1 3n

Решение.

∞

nsin in

∞

inshn

∞

n(en −e−n )

.

∑

n

= ∑

n

= i∑

n

n=1

3

n=1

3

n=1

2 3

∞

n

Ряд ∑ nen

сходится по признаку Коши:

n=1

3

lim n

c

= lim n

n

e

= e <

1 (так как lim n

n = 1).

n→∞

n

n→∞

3

n→∞

3

∞

−n

Ряд ∑ nen

также сходится, так как

n=1

3

e−1

lim n

c

= lim n n

<1.

=

n→∞

n

n→∞

3

Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно.

93

В следующих примерах определить радиусы сходимости степенных рядов.

Пример 7.7 ([3], № 3.40).

∞ zn

∑n=1 n .

Решение. По формуле Коши–Адамара

R =				1	= lim
R =		lim n \| c \|			= lim
		lim n \| c \|				n→∞
		n→∞		n
		n→∞
Пример 7.8 ([3], № 3.41).						n
				∞	z	n
				∑	z		.
				∑	n!		.
				n=1	n!
Решение. R = lim \|	cn		\|= lim (n +1)!
Решение. R = lim \|	c +1		\|= lim (n +1)!
n→∞	c +1			n→∞	n!
	n

Пример 7.9 ([3], № 3.42).

n n = 1.

= lim(n +1) = ∞.

n→∞

∞

∑nn zn .

n=1

Решение. R = lim

1

= 0 .

n→∞ n nn

Пример 7.10 ([3], № 3.44).

∞

n!

∑

zn .

n

Решение.

n=1

n

cn

n!(n +1)n+1

(n +1)n

1 n

R = lim |

|= lim

= lim

= lim 1

+

= e .

cn +1

n

(n +1)!

n

n→∞

n

Пример 7.11 ([3], № 3.45).

∞

∑ zn! = 1+ z + z2 + z6 + .. .

n=0

Решение. Воспользуемся более общей формулой Коши–

Адамара R =		1			(верхний предел). Для получения верхнего
	lim
				\|
	n→∞ n \| c
			n

предела надо взять ту подпоследовательность, у которой предел существует и наибольший. В данном случае, надо брать подпосле-

94

довательность с номерами 0,1,2,3, … n!… , все члены которой равны 1 и, следовательно,

1

= 1 .

lim

n→∞ n | c |

n

Аналогично решаются [3] № 3.46, 3.47, 3.48.

Пример 7.12 ([3], № 3.49).

∞

∑cosin zn

n=1

∞

Решение. ∑cosin zn = ∑chn zn

= 1 ∑(en +e−n )zn .

n=1

2 n=1

Сумма

двух

рядов.

Радиус

сходимости

первого

ряда

R = lim

1

= 1 ,

радиус

сходимости второго

R = lim

1

= e .

1

n→∞ n en

e

2

n→∞ n e−n

Пересечением этих множеств будет круг с меньшим радиусом сходимости, то есть R = 1e .

Данные функции разложить в ряд Тейлора в окрестности z0 = 0

и найти радиус сходимости.

Пример 7.13 ([3], № 3.67).

f ( z) = ch z .

Решение. chz = ez +2e−z . Пользуясь разложением экспоненты

∞

z

n

ez = ∑

, получим

n!

n=0

n

1

∞

z

n

∞

1

∞

1

ch z =

∑

+∑ (−z)

=

∑

(1+(−1)n )zn .

2

n!

n=0

n!

2 n=0

Остаются только слагаемые с четными номерами n = 2k :

∞

1

∞

2k

chz =

1 ∑

2z2k

= ∑

z

.

2 k =0 (2k)!

n=0 2k!

Далее находим радиус сходимости

R = lim |

ck

|= lim

(2k + 2)!

= lim(2k + 2) = ∞ .

c +1

2k !

k →∞

k

95

Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013

Смотрите также: