Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013

Обратим внимание, что для ряда Лорана в бесконечности названия главной и правильной частей меняются местами. Разложение

справедливо в области ζ <1 или z >1. Теперь произведем разло-

жение заданной функции в ряд Лорана по степеням z −1, т.е. в окрестности точки z0 = 1:

+∞

f (z) = ∑ cn (z −1)n .

n=−∞

Для этого опять воспользуемся представлением функции элементарными дробями:

1

вательно, воспользуемся опять разложением (8.2) функции 1 −t в

имеет вид

106

Разложение справедливо в области 0 < z −1 <1 (кольцо с цен-

тром в точке z0 = 1, внутренним радиусом R1 = 0 и внешним радиусом R2 = 1, иначе говоря, проколотая окрестность точки z0 =1) .

Пример 8.2. Найти все разложения в ряд Лорана функции

Решение. Так как требуется разложить функцию по степеням z ,

+∞

то искомые разложения должны иметь вид ∑ cn zn , т.е. z0 = 0.

n=−∞

Это будут разложения в кольцах с центром в точке z0 = 0. Функция f (z) аналитична всюду, кроме точек z1 = 0 , z2 =1, z3 = −2 (так

как корни квадратного трехчлена z2 + z − 2 по теореме Виета равны 1 и –2, и его можно разложить на множители

z2 + z −2 = (z −1)(z +2). Поэтому она имеет три кольца аналитичности с центром в точке z = 0 : а) 0 < z <1, б) 1 < z < 2, в) | z |> 2 .

Разложения в них получим, как и в предыдущем примере, представив вначале f (z) в виде суммы элементарных дробей:

Коэффициенты А, В и С найдем, приведя правую часть к общему знаменателю и приравняв числители слева и справа:

z2 +1 = A(z −1)(z + 2) + Bz (z + 2) +Cz (z −1).

Можно затем приравнять коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях z, а можно воспользоваться следующим приемом (он хорошо работает при отсутствии комплексных корней у знаменателя) : положим слева и справа z = 0 :

107

В случае а): первое слагаемое есть уже готовая степень z. Во

108

Разложение справедливо в области 0 < z <1 (т.е. в проколотой окрестности точки z = 0) .

В случае б): в кольце 1 < z < 2 второе слагаемое представим в виде

Обозначив 1z =t , опять можем применить разложение (8.2) (так как теперь 1 < z и, следовательно, | t |< 1 ):

Третье слагаемое в (8.3) представляем так же, как в случае а), т.е. z < 2. Поэтому

ки). Для того чтобы воспользоваться разложением (8.2), теперь и во втором, и в третьем слагаемых представления (8.3) надо в знаменателе за скобку вынести множитель z, т.е.

109

Искомое разложение в этом случае имеет вид:

(0 < a < b ) разложить в ряд Лорана в окрестности точек z = 0,

z = a, z = ∞ и в кольце |a| < |z| < |b|.

Решение. Представим функцию в виде суммы элементарных дробей:

Далее разложение производится как в предыдущих примерах. Пример 8.4 ([3], № 4.1). Функцию f (z) = z −1 2 разложить в ряд

Лорана в окрестности точек z = 0 и z =∞.

Решение. В окрестности нуля функция аналитична, поэтому единственным образом разлагается в степенной ряд (ряд Тейлора), что можно сделать, опять используя формулу (8.2):

110