Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013

Пример 8.10 ([3], № 4.15). Разложить в точках z0 =1 и z0 = ∞ функцию sin 1−z z .

Решение. В точке z0 = 1 решается аналогично примеру 8.9. Получим

Для разложения в бесконечности, как всегда, делается замена

Эту функцию надо разложить в ряд Лорана (Тейлора) в точке

Пример 8.11 ([3], № 4.16). Разложить в ряд Лорана в окрестности точки z = 0 и в кольце π <| z |< 2π функцию f ( z) = ctg z .

новское разложение ctg z начинается с члена, содержащего z в минус первой степени, т.е. имеет вид

ctgz = cossin zz = 1z + a1z + a3 z3 +...

116

(только нечетные степени, так как ctg z – нечетная функция). Откуда

Используем известные разложения cos z и sin z в нуле, а затем найдем коэффициенты ai, приравнивая слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях z:

при z2 : −2!1 = a1 − 3!1 a1 = 3!1 − 2!1 = −13 ,

при z4 : − 4!1 = a3 −a1 3!1 + 5!1 a3 = 4!1 − 5!1 + 3!1 a1 = − 451 ,

при z6 :

−16 = a5 −a3 3!1 +a1 5!1 − 7!1 a5 = 7!1 − 6!1 + 3!1 a3 − 5!1 a1 = −9452

ит.д.,

Обычно эти коэффициенты записывают с помощью чисел Бер-

кольца. При этом внутри контура находятся три точки, в которых подынтегральная функция не аналитична: –π; 0 ; π. Из теоремы

117

Коши для составного контура (окружим эти точки контурами малого радиуса γ1 , γ2 , γ3 ) следует, что

∫γ ctgzn+z1 dz = γ∫1 +γ∫2 +γ∫3 .

Интеграл по контуру γ2 , охватывающему точку 0 , есть не что иное, как коэффициент ап разложения ctgz в нуле, вычисленный

γ3 (охватывает точку π), используя интегральную формулу Коши

где f(z) аналитична внутри γ. Для этого под интегралом умножим и разделим подынтегральную функцию на z + π (для γ1) и на z – π

Доопределим функцию ctgz (z + π) в точке z = – π ее пределом в точке –π, т.е. единицей. Тогда по формуле Коши

Отсюда видно, что при четных п эти два слагаемых уничтожаются. Остаются только нечетные п, т.е.

118

где a2 k +1 – коэффициенты разложения ctgz в нуле, полученные выше. Окончательно имеем

или, переобозначив индекс суммирования в первой сумме k → k + 1, а во второй k → k – 1, получим

Разложение справедливо в кольце π < |z| < 2π.

Пример 8.12 ([3], № 4.19). Выяснить, допускают ли указанные функции разложение в ряд Лорана в окрестности данной точки:

Решение. В соответствии с теоремой Лорана в ряд Лорана в окрестности некоторой точки может быть разложена функция, аналитическая всюду в этой окрестности, за исключением, может быть, самой этой точки. Следовательно, во всех указанных случаях нам надлежит проверить, существует ли вокруг данной точки окрестность, в которой функция аналитична.

1) Функция cos z аналитична во всей комплексной плоскости. Поэтому функция cos 1z аналитична также во всей комплексной

плоскости, кроме точки z = 0. Поэтому существует проколотая окрестность точки z = 0 (т.е. окрестность за вычетом самой точки z = 0), в которой функция аналитична и, следовательно, допускает разложение в ряд Лорана. Ответ: да.

2) Эта же функция, но z = ∞. Ответ: да, ввиду аналитичности функции в окрестности z = ∞.

4) сtgz, z = ∞. ctg z = cossin zz . Знаменатель обращается в нуль в точках z = kπ (k = 0, ±1, ±2,...). Следовательно, при достаточно

119

большом k точки kπ, где функция не аналитична, попадают в любую окрестность бесконечности. Поэтому не существует такой окрестности точки z = ∞, в которой функция ctg z была бы аналитической. Ответ: нет, не допускает.

В этих точках функция не аналитична, и при k → ∞ эти точки попадают в любую окрестность точки z = 0. Поэтому вокруг точки z = 0 нет окрестности аналитичности рассматриваемой функции и, следовательно, разложить в ряд Лорана эту функцию в точке z = 0 нельзя.

обращается в нуль: sin z −3 = 0,sin z = 3. (Обратим внимание, что

120