Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013
откуда видно, что эти точки неаналитичности рассматриваемой функции при k → ∞ попадают в любую окрестность точки z = ∞ и, следовательно, не существует окрестности аналитичности этой точки, поэтому функция вряд Лорана вней разложена бытьнеможет.
Пример 8.13 ([3], № 4.20). Выяснить, имеют ли указанные многозначные функции однозначные ветви, допускающие разложение в ряд Лорана (в частности, в ряд Тейлора) в окрестности данной
точки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
z , |
z = 0 ; |
2) |
z(z −1) , z = ∞ ; |
3) |
|
|
z |
|
|
|
, |
|
z = ∞ ; |
|||
|
(z −1)(z −2) |
|
|||||||||||||||
4) 3 (z −1)(z −2)(z −3) , z = ∞ ; |
|
5) 4 |
z(z −1)2 , |
z = ∞ ; |
|||||||||||||
6) |
1+ z , z = 1 ; 7) 1+ z , z = 0 ; |
8) z + z2 −1 , z = ∞ ; |
|||||||||||||||
9) |
z + |
z2 −1 , |
z =1 ; |
|
10) |
1+ 3 |
|
z |
|
, z |
= ∞ ; |
||||||
|
z |
+1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11) Ln [( z −1)( z − 2)] , z = ∞ ; |
12) Ln (z −α)(z −β) |
, z = ∞ ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(z −γ)(z −δ) |
|
|
|
||||||
13) Arcsin z , z = 0 ; |
|
14) Arctg(1 + z) , z = 0 ; |
|||||||||||||||
15) Arsh(i + z) , z = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16) |
π |
−Arcsin z , |
z =1 ; |
17) |
π −Arcsin z , z = |
|
2 |
. |
|||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение.
1) f (z) = z , z = 0. Функция в окрестности точки z = 0 не имеет
однозначных ветвей, допускающих разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки, так как точка z = 0 является точкой ветвле-
ния функции. По определению корня |
z = |
ρe |
i |
φ+2πk |
|
2 (k = 0,1) . При |
обходе точкой z начала координат и возвращении в исходную точку аргумент φ приобретает приращение 2π, значение функции переходит с одной ветви на другую и, следовательно, ветви многозначной функции в окрестности точки z = 0 не разделяются, а поэтому не могут быть разложены в ряд Лорана.
121
2) f (z) = z(z −1) , z = ∞. В окрестности точки z = ∞ ветви раз-
деляются, |
и каждая может быть разложена в ряд Лорана, |
так как |
||||
z = ∞ |
не является точкой ветвления данной функции. Действи- |
|||||
тельно, |
пусть |
|
z = ρeiφ , z −1 = ρ eiφ1 ; по определению |
корня |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
z(z −1) = |
ρρ1 e |
i |
φ+φ1 +2 πk |
(k = 0, 1). При обходе точки z = ∞ по ок- |
||
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ружности достаточно большого радиуса аргументы φ и φ1 приобретают приращение каждый –2π, аргумент самой функции приобре-
тает приращение −42π = −2π, т.е. функция не меняется.
3) f (z) = |
z |
, z = ∞. Ветвей, допускающих разложе- |
(z −1)(z −2) |
ние в ряд Лорана, нет, так как точка z = ∞ является точкой ветвле-
ния: если |
z = ρeiφ , z −1 = ρ eiφ1 |
, |
z − 2 = ρ |
eiφ2 |
, то |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
ρ |
|
i |
φ−φ1 −φ2 +2πk |
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
e |
|
|
(k = 0, 1). |
|
|
|
(z −1)(z −2) |
|
|
ρρ |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
При обходе бесконечности аргументы φ, φ1, φ2 приобретают приращение –2π каждый. В результате аргумент функции приобре-
тает приращение |
φ−φ1 −φ2 |
= |
−2π+ 2π+ 2π |
= π, т.е. происходит |
|
2 |
|
2 |
|
переход с одной ветви на другую.
4) f (z) = 3 (z −1)(z −2)(z −3) , z = ∞. Так как z = ∞ не является
точкой ветвления, то функция в окрестности точки z = ∞ разделяется на три ветви – однозначные аналитические функции, допускающие разложение в ряд Лорана.
5)f (z) = 4 z(z −1)2 , z = ∞. Нет разделяющихся ветвей, так как z
=∞ – точка ветвления.
6) f (z) = 1 + z , z = 1. Внутренний корень z в точке z = 1 может принимать два значения 1 или –1. Для той ветви внутренне-
го корня, для которой 1 =1 , точки z = 1 не является точкой ветвления внешнего корня, а следовательно, и всей функции f ( z) . По-
122
этому эта ветвь допускает разложение в ряд Лорана обеих ветвей внешнего корня в окрестности точки z = 1.
7) f (z) = 1 + z , z = 0. Для внутреннего корня z точка z = 0
является точкой ветвления и, следовательно, точкой ветвления функции f ( z) . Поэтому разделение ветвей невозможно и разложе-
ние в ряд Лорана невозможно.
8) f (z) = z + z2 −1 , z = ∞. Точка z = ∞ не является точкой
ветвления внутреннего корня z 2 −1 , но является точкой ветвления для внешнего корня. Поэтому разделение ветвей и разложение в ряд Лорана невозможно.
9) f (z) = z + z2 −1 , z = 1. Точка z = 1 является точкой ветв-
ления для внутреннего корня, а так же точкой ветвления самой функции f ( z) . Поэтому разделение ветвей и разложение в ряд Ло-
рана невозможно.
10) |
f (z) = 1+ 3 |
z |
|
, z = ∞. Точка z = ∞ не является точкой |
|
z +1 |
|||||
|
|
|
|||
ветвления внутреннего корня и всей функции f ( z) в целом. Поэтому разделение на 6 одозначных аналитических функций в окрестности точки z = ∞ возможно, а следовательно, возможно и их разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки;
11) f ( z) = Ln [( z −1)( z − 2)] , z = ∞. Точка z = ∞ является точкой ветвления функции f ( z) ; поэтому выделение ветвей, допускающих разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки невозмож-
но. Действительно, пусть z −1 = ρ eiφ1 |
, |
z − 2 = ρ |
eiφ2 . |
Тогда |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
f (z) = ln ρ1 +ln ρ2 +iφ1 +iφ2 +i2πk (k = 0, ±1, ±2,...) . |
При |
обходе |
|||
точкой z бесконечно удаленной точки аргументы φ1 и φ2 приобретают приращение –2π каждый, вся функция приобретает приращение аргумента –4π и, следовательно, значение функции переходит с ее ветви с номером k, на ветвь с номером k – 2.
12) |
f (z) = Ln |
(z −α)(z −β) |
, z = ∞. Разделение функции на одно- |
|
|
(z −γ)(z −δ) |
|
значные аналитические ветви возможно, так как точка z = ∞ не яв-
123
ляется точкой ветвления. Каждая ветвь допускает разложение в ряд Лорана.
13) f ( z) = Arc sin z , z = 0. Так как Arcsin z = −iLn i(z + z2 −1),
то точка z = 0 является точкой ветвления этой функции, разделение ветвей и разложение в ряд Лорана невозможно.
14) f ( z) = Arctg(1 + z) , z = 0. Все ветви допускают разложение в
ряд Лорана в окрестности точки z = 0, так как эта точка не является точкой ветвления функции.
15)f ( z) = Arsh(i + z) , z = 0. Разделение ветвей и разложение их
вряд Лорана возможно, так как точка z = 0 не является точкой ветвления.
16) f (z) = |
π |
−Arcsin z , z = 1. Допускают разложение в ряд |
|
2 |
|||
|
|
Лорана все ветви, кроме тех, для которых Arcsin1 = |
π |
, так как для |
||||||||||||
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|||
ветви внутренней функции Arcsinz, для которой Arc sin1 = |
, точка |
|||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||
z = 1 является точкой ветвления корня. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
17) f (z) = |
π −Arcsin z , z = |
|
2 |
|
. Разделение ветвей и разложе- |
|||||||||
|
2 |
|||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ние их в ряд Лорана возможно для всех ветвей функции |
f ( z) , |
|||||||||||||
кроме тех, для которых Arcsin |
2 |
|
= |
π |
. |
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Рекомендуемый перечень задач для решения в аудитории:
8.1 ([3], № 4.3); 8.2; 8.4 ([3], № 4.1); 8.5; 8.6; 8.7 ([3], № 4.6); 8.8; 8.12 ([3], № 4.19 (1, 2, 4, 6, 7)); 8.13 ([3], № 4.20 (1,2,3)).
Резерв:
8.9 ([3], № 4.11); 8.10 ([3], № 4.15); 8.11 ([3], № 4.16); 8.13 ([3], № 4.20 (6–17)).
Для самостоятельной работы дома:
8.3 ([3], №4.4); [3], № 4.2, 4.9, 4.10, 4.12, 4.19 (3, 5), 4.20 (4, 5).
124
9. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В названии темы мы хотим указать, что, в частности, точки ветвления многозначных функций рассматриваться не будут. Изолированные особые точки аналитических функций делятся на три типа (табл. 9.1) в зависимости от существования и характера предела в них, либо по виду ряда Лорана функции в окрестности этой точки (такое разложение всегда возможно, так как ввиду изолированности особой точки у нее, по определению, существует проколотая окрестность аналитичности).
|
|
|
|
Таблица 9.1 |
|||
|
|
Вид ряда Лорана |
|
|
|||
Тип особой точки |
Наличие предела |
|
|||||
Устранимая |
Существует |
конеч- |
Ряд Лорана |
имеет |
|
|
|
особая точка |
ный предел |
|
только |
правильную |
|
|
|
|
|
|
часть |
|
|
|
|
Полюс |
Существует |
беско- |
В главной части ко- |
|
|
||
|
нечный предел |
нечное число членов |
|
|
|||
Существенно |
Нет предела, ни |
Главная |
часть |
ряда |
|
|
|
особая точка |
конечного, ни бес- |
Лорана содержит бес- |
|
|
|||
|
конечного |
|
конечное |
число |
чле- |
|
|
|
|
|
нов |
|
|
|
|
Замечания.
1.Данная классификация применима как к конечным точкам комплексной плоскости, так и к точке z = ∞. Напомним только, что в случае разложения функции в ряд Лорана в окрестности конечной точки главной частью называется совокупность членов ряда с отрицательными степеня-
ми величины z – z0, а правильной – с неотрицательными. В случае же бесконечно удаленной точки главная часть – это члены с положительными степенями z, а правильная – с неположительными.
2.Особая точка типа "полюс" характеризуется еще и порядком полюса. Порядок полюса равен наибольшему по модулю показателю степени z или z – z0 среди членов главной части (см. пример 8.2):
f (z) = z2 +1 . z(z −1)(z +2)
125