Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Интегралы по малой полуокружности при ρ → 0 и по большой полуокружности при R → ∞ обращаются в 0 (показывается, как в предыдущих примерах). Получаем

∞

−πe

−i

3π

J −i J + π

∫0

−3ln a +i

x(x

+ a

)

Приравниваем мнимые части слева и справа:

−J =

−π

[cos

3π −sin

(2 −3ln a)] ;

4a3

3π

J =

−2 +3ln a

ln a −1

Пример 13.20 ([3], № 4.202). Вычислить интеграл ∞∫sin axdx.

0 shx

Решение. Рассмотрим интеграл ∫eaizdz									, где контур С указан на
					C shz
рис. 13.13. Внутри контура одна особая
точка z = πi – полюс первого порядка.
Вычислим вычет в ней по формуле						φ		, где

						ψ′
φ(z) = eiaz , ψ(z) = shz :
res[ f (z), πi] =	e−aπ	=	e−aπ	= −e	−aπ		.
	chπi		cos π						Рис. 13.13

Интеграл равен

2πi res[ f (z), πi] = −2πie−aπ .

Вычислим интегралы по составным частям контура С. Интеграл по малой полуокружности радиуса ρ с центром в начале координат

∫eaiz dz = −πires[ f (z),0] = −πi Cρ shz

(см. вычисление интегралов с особенностями на действительной оси). Аналогично вычисляется интеграл по малой полуокружности с центром в точке 2πi (также полюс первого порядка).

211

∫	eaiz dz = −πires[ f (z), 2πi] = −πie−2πa .
Cρ′	shz
Cρ′
Интеграл по действительной оси
	−ρ	eiaxdx	+ ∫α eiaxdx			+∞∫	eiaxdx .
	∫	eiaxdx	+ ∫α eiaxdx		→	+∞∫	eiaxdx .
	−α	shx	ρ	shx	ρ→0	−∞		shx
	−α		ρ		α→∞	−∞
Интеграл по горизонтальной прямой						z = x + 2πi в пределе при
ρ → 0 , α → ∞ равен
	−∞∫	eia( x+2πi)dx		= −e−2πa +∞∫				eiax	dx .
	−∞∫			= −e−2πa +∞∫					dx .
	+∞ sh(x + 2πi)					−∞ shx

Оценим интегралы по вертикальным отрезкам: z = ±α+iy , 0 ≤ y ≤ 2π ,

2∫π eia(α+iy)idy	≤	2∫π	e−aydy	→ 0
0 sh(α+iy)		0	sh(α+iy)
0 sh(α+iy)		0	sh(α+iy)

при α → ∞ .

Аналогично, по левому вертикальному отрезку интеграл стремится к нулю. В результате имеем равенство

+∞∫	eiaxdx	−e−2πa +∞∫	eiaxdx	−πi −πie−2πa = −2πie−πa .
−∞	shx	−∞	shx

Приравняем мнимые части слева и справа:

(1−e−2πa ) ∞∫

sin ax dx −π−πe−2πa = −2πe−aπ

−∞

shx

+∞ sin ax dx

−2πe−aπ + πe−2aπ + π

π(1−e−aπ)2

∫

−2aπ

shx

1−e

−e

−aπ

)(1+e

−aπ

)

−∞

π(1−e−aπ)

aπ

∞ sin ax dx

aπ

1+e

−aπ

= π th

∫

shx

212

Рекомендуемый перечень задач для решения в аудитории:

13.1 ([3], № 4.165); 13.2 ([3], № 4.166); 13.5 ([3], № 4.170); 13.8 ([3], № 4.177); 13.12 ([3], № 4.181); 13.17 ([3], № 4.190); 13.19 ([3], № 4.192).

Резерв:

13.4 ([3], № 4.168); 13.7 ([3], № 4.176); 13.13 ([3], № 4.183), 13.14 ([3], № 4.184); 13.15 ([3], № 4.185); 13.20 ([3], № 4.202).

Для самостоятельной работы дома:

13.3 ([3], № 4.167); 13.6 ([3], № 4.172); 13.9 ([3], № 4.178), 13.11 ([3], № 4.180); 13.18 ([3], № 4.191).

На усмотрение преподавателя:

13.10 ([3], № 4.179); 13.16 ([3], № 4.186).

213

14. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Рассмотрим интегральное преобразование Лапласа, его свойства и применения, то есть раздел математики, который обычно называют операционным исчислением.

Интеграл Лапласа имеет вид

∞

F( p) = ∫e−pt f (t)dt ,

где функция действительного переменного f (t) называется оригиналом, а F ( p) – функция комплексного переменного р называется её изображением по Лапласу. Соответствие между f (t) и F ( p) будем изображать знаком . Функциями, которые могут

быть оригиналом, являются не только действительные, но и комплекснозначные функции f (t) , отвечающие следующим требова-

ниям:

1)f (t) ≡ 0 при t < 0 ;

2)на каждом конечном промежутке оси t f (t) имеет не более

конечного числа разрывов первого рода;

3) f (t) при t → +∞ имеет ограниченную степень роста, что значит: f (t) ≤ Meat , где М и а – некоторые постоянные. При этом

наименьшее из всех а называется показателем степени роста функции f (t) . Можно показать, что функция F ( p) – аналитиче-

ская в полуплоскости Re p > a , где а – показатель степени роста функции f (t) .

Свойства изображений

1. Свойство линейности:

∑ αi fi (t) αi Fi ( p) (αi = const, i =1, 2...n) .

i=1

2.f (αt) α1 F ( αp ) , α= const > 0 .

3.Теорема запаздывания:

214

0, τ > t,

f (t)

e− pτF( p) .

(t) =

f (t −τ), τ≤t,

(n−1)τ

(n)

f (o)

(o)

(t) p

{F( p) −

−... −

} ,

5. ∫0

f (τ)dτ

F( p) .

6. Изображение свертки:

f1(t −τ) f2 (τ)dτ F1( p) F2 ( p) .

∫0

f1 (τ) f2 (t −τ)dτ =

∫0

7.F(n) ( p) (−1)n tn f (t) .

8.∞∫F( p)dp f t(t) .

9.Теорема смещения: F ( p + λ) e−λt f (t) .

Изображения некоторых функций

1. 1 1p ; Re p > 0 . Под единицей понимается единичная функ-

0,если t < 0,

ция Хевисайда σ0 (t) : σ0 (t) =

1,если t ≥ 0.

Все функции в дальнейшем будем считать умноженными на эту единичную функцию.

2.tv Γ(pvv++11) , v >−1, Re p > 0 ; Γ(v) – гамма-функция.

3.При v = n (n – целое) tn pnn!+1 , Re p > 0 .

4.eαt p 1−α , Re p > Re α .

5.sin ωt p2 ω+ω2 , Re p > Im ω ;

215

Источник: https://studfile.net/preview/16708793/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27