Документ: Михайлов ТФКП Практикум 2013, страницы 216-220

6)

cos ωt

p

, Re p >

Im ω

.

p2 +ω2

7)

shλt

λ

,

Re p > Re λ .

p2 −λ2

8)

ch λt

p

, Re p > Re λ .

p2 −λ2

Изображения других элементарных функций могут быть получены с помощью свойств из соответствующей таблицы.

Перейдем к определению оригинала по изображению, а также обратному преобразованию Лапласа (преобразованию Меллина).

Если F(p), где p = x + iy – аналитическая в области Rep > a функция, равномерно относительно arg p стремящаяся к нулю при

p	→∞ , и для всех Re p > a сходится интеграл	x+∫i∞	F( p)	dy < M ,

		x−i∞

x > a , то F ( p) при Re p > a является изображением функции f (t), которая определяется выражением

f (t) =	1	x+∫i∞ept F( p)dp.

	2πi x−i∞

Последний интеграл может вычисляться в комплексной плоскости p с помощью вычетов рассмотренными ранее методами. Частный случай: если F ( p) разлагается на бесконечности в ряд Лорана

	∞	cn
вида	F ( p) = ∑	cn	, то оригиналом этой функции является функ-
вида	F ( p) = ∑	n	, то оригиналом этой функции является функ-
	n=1	p
			∞	t	n
ция	f (t) = 0 , если t < 0 , и f (t) = ∑cn+1			t		, если t ≥ 0 .
ция	f (t) = 0 , если t < 0 , и f (t) = ∑cn+1			n!		, если t ≥ 0 .
			n=0	n!

Пример 14.1 ([4], № 3). Пользуясь теоремой подобия и таблицей

изображений, найти изображения	следующих функций: 1) eat ;
2) e−at ; 3) shat ; 4) chat ; 5) sin at ;	6) cos at ; 7) cos2 t ; 8) sin	t	.

		a

Решение. 1) Считая известным изображение et p1−1 , по тео-

реме подобия ( f (αt)	1	p
	α		α
		F		), получим

216

eat	1		1	=	1	.
	a	a
			−1		p −a
		p

3) sht = et

−e−t

sht

1

и по теореме подобия

2

p

2

1−1

1

a

shat

a

=

.

p

2

p2 − a2

−1

a

eit −e−it

1

5) sin t =

2i

−

=

sin at

2i

p −i

p +i

p2 +1

1

=

a

.

a

2

p2

+a2

p

+1

a

2

1 + cos 2t

1

p

p2 +2

7) cos

t

=

2

+

2

=

.

p

p2 +4

p( p2 +4)

Пример 14.2 ([4], № 5). Пользуясь теоремой смещения, найти

изображения следующих функций:

1)

eax sin bx ;

2) chax cos ax ;

3) 1 (chax sin ax +shax cos ax) ;

1 shax sin ax ;

2

4)

5) e−4 x sin 3x cos 2x ;

6) shx cos 2x cos 3x ;

2

7)

e−ax

;

8)

e( x+1)( 2−x) .

πx

Решение.

b

1) eax sin bx

(непосредственно по точке смещения);

( p

−a)2 +b2

3)

1 (ch ax sin ax +sh ax cos ax) ;

2

chax·sinax =

eax +e−ax

sinax

1

a

2 [

+

] =

2

( p −a)2 + a2

( p + a)2 + a2

217

a p2 + 2ap + 2a2 + p2 −2ap + 2a2

a

2 p2 + 4a2

= 2

=

( p2 −2ap + 2a2 )(· p2 + 2ap + 2a2 )

2

( p2 + 2a2 )2 −4a2 p2

=

a( p2 + 2a2 )

.

p4 +

4a4

Аналогично:

eax −e−ax

1

p −a

p + a

shax·cosax =

cosax

2 [

−

] =

2

( p −a)2 + a2

( p + a)2 + a2

1

( p2 + 2ap + 2a2 )·( p −a)− ( p2 −2ap + 2a2 )·( p + a)

= 2

=

( p2 −2ap + 2a2 )(· p2 + 2ap + 2a2 )

= 1

2ap2 −4a3

= a( p2 −2a2 ) .

2

( p2 + 2a2 )2 −4a2 p2

p4 + 4a4

И, следовательно,

1 (chax·sinax +shax·cosax)

2

a( p2 +

2a2 )

+

a( p2

−2a2 )

=

ap2

.

2( p4 +

4a4 )

2( p4

+ 4a4 )

p4

+ 4a4

5)

e−4 x sin3x cos2x; используя

формулу

тригонометрии

sin3x·cos2x = 1·(sin5x +sinx),

получим

2

1 e−4 x (sin5x +sinx)

e−4 x sin3x cos2x =

1

2

[

5

+

1

] =

3

.

2

( p + 4)2 + 25

7)

e−ax

;

воспользуемся таблицей изображений:

πx

1

Γ(1)

π

e

ax

1

2

= 1

π

1

= x−2

2

=

;

1

p

x

p

2

πx

2

p + a

p2

e−ax·f

(x)

F( p +a)

e−ax

1

.

2

πx

p +a

218

Пример 14.3 ([4], №6). Пользуясь теоремой смещения и теоремой дифференцирования изображения, найти изображения сле-

дующих функций:

1)

xcosbx ;

2)

x2 sin bx ;

3) x shax sin ax ;

4) x chax cos ax ;

xe−

x

5)

2

;

6) x2e3 x .

Решение.

1) xcosbx . Так как cosbx

p

′и F ′( p) −xf (x) ,

то

p2 +b2

bx

−

p

p2 −b2

xcosax

−ax p

2 +b2

= ( p2 +b2 )2 .

3) x shax sin ax = x e

−e

sin ax

ax

a

2

,

e

sin ax ( p −a)2 + a2

(по

теореме смещения),

ax

sin ax

−

a

′

=

2a( p −a)

xe

,

( p −a)2 + a2

(( p −a)2 + a2 )2

xe

−ax

sin ax

2a( p −a)

;

(( p −a)2 + a2 )2

x shax sin ax

p −a

p + a

a

−

=

( p

2

−2 pa + 2a

2

)

2

( p

2

+ 2 pa + 2a

2

)

2

=

2a2 (3 p4 −4a4 )

;

( p4 +4a4 )2

−

x

−

x

−x

1 ′

1

по теореме

5) xe

2

=

2

e

2 ;

xe

=

2

p +1

( p +1)2

подобия:

x

e

−

x

p

2

=

(2 p +1)

2 .

2F

1

Пример 14.4 ([4], №7). Пользуясь теоремой запаздывания, най-

ти изображения (a > 0, b > 0): 1) ( )·sin(x – a); 2) cos(ax – b); 3) f(ax – b); 4) f(ax + b).

219

Решение.

1) e( x−a) sin (x −a)= σ0 (x −a)e( x−a) sin (x −a)

		b
3) f (ax −b)= f [a (x	− b )]	e− p a	F (	p	).
		a
	a			a

e−ap	1	.
	( p −a)2 +1

Пример 14.5 ([4], № 8). Пользуясь теоремой интегрирования изображения, найти изображения функций:

1)

sinx

; 2)

e−ax·sinkx

;

3)

cosbx −cosax

;

4)

1−e−ax

;

x

x·ex

5)

sin7x·sin3x

;

6)

e−ax

2

bx ;

7)

e−ax −ebx

8)

sin

2 x

.

x

·sin

x

;

x

Решение.

sinx

∞

1

π

1

1)

∫p

dp =

−arctg p = arctg

.

x

p2 +1

2

p

e−ax·sinkx

∞

k

p + a ∞

π

p + a

2)

∫p

dp = arctg

│p

= 2

−arctg

=

x

( p + a)2 + k2

k

= arctg

k

.

p + a

cosbx −cosax

cosbx

cosax

∞

pdp

∞

pdp

3)

=

−

∫p

− ∫p

=

x

p2 +b2

p2 + a2

∞

2

∞

=

1 ln( p2

+b2 )

−

1 ln( p2 + a2 )

= 1 ln

p

+b

=

2

p

2

p

2

p

+ a

p

2

= −

1 ln

p

+b

= ln

p

+ a

.

2

p

+ a

p

+b

sin7x·sin3x

1

cos4x −cos10x

1

2

+16)−

5)

x

=

2

x

2 [

2 ln (p

1

2

∞

1

p2 +100

−

2 ln (p

+100)]

=

4 ln

.

p

p2 +16

220

Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013

Смотрите также: