Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

Рис. 11. Цилиндр с током

Cистема обладает цилиндрической симметрией. Поэтому, интегрируя уравнение rotH 4c j по поверхности, заключенной внутри окружности радиуса r с центром на оси системы, и используя теорему Стокса, имеем:

Пусть весь ток сосредоточен на оси системы,

Здесь J − полный ток в системе. Подставляя

56

(II.2.2) в (II.2.1), получаем:

Пусть теперь ток равномерно распределен внутри цилиндра радиуса а и равен нулю вне его. В этом случае вместо (II.2.2) имеем:

Здесь J jzdS − снова полный ток в системе.

Рассмотренная здесь модель является в ряде случаев хорошим приближением для токамака с малым отношением малого радиуса тора к большому, ≡ Ra . Величину называют

тороидальностью, а обратную величину − аспектным отношением. В таком торе можно положить R ≈ R0 const. Очевидно, что при обходе тора все физические величины должны быть периодичны. В частности, они должны совпадать на концах цилиндра при z 0 и z 2 R. Такое представление токамака называется цилиндром с отождествленными концами.

Введем очень важный и часто используемый параметр, который называется коэффициентом запаса устойчивости или коэффициентом Шафранова ( в зарубежной литературе он называется safety factor)

57

тороидальные эффекты, приводящие к нарушению цилиндрической симметрии, нам понадобится более общее определение.

Рис. 12. Профиль q для равномерного распределения тока внитри цилиндра радиуса a.

Для случая тока, равномерно распределенного внутри цилиндра радиуса а, из (II.2.4) и (II.25) находим:

58

Этот профиль показан на рис. 12. Обычно в токамаке вблизи оси разряда величина q близка к единице и нарастает к периферии, но бывают случаи и немонотонного профиля q.

Задача

Найти профиль q при r a для следующего распределения тока:

jz j0 1 − ar 2.

Решение

С помощью (II.1.17) находим:

Этот профиль показан на рис. 13 для q0 1.

59

Очевидно, что силовые линии представляют

собой спирали, намотанных на цилиндрические поверхности. Такие поверхности называются магнитными поверхностями. Для описания тороидальной системы с малой тороидальностью

60