Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

области. Частица, которая опережает волну, отдаёт свою энергию горбу, который она догоняет, отражается от него и также выбывает из резонанса за счёт столкновений. Таким образом, если частиц, отстающих от волны, больше, чем опережающих,

т.е.

∂f0e

0, то волна затухает. Если же наоборот,

∂p

 

 

то раскачивается.

а

б

Рис. 20. Равновесные функции распределения. a − устойчивая (волна затухает) и б − неустойчивая (волна раскачивается)

IV.5. Диэлектрическая проницаемость максвелловской плазмы с неподвижными ионами

Диэлектрическая проницаемость связывает напряжённость и индукцию электрического поля,

106

D E

В однородной и изотропной плазме тензор

диэлектрической проницаемости становится диагональным, D E, а соответствующее уравнение Максвелла в фурье-представлении имеет вид:

ik D 0.

Для того, чтобы найти связь между E и D в незамагниченной максвелловской плазме, вернёмся к уравнению (IV.3.5) и перепишем его так:

(IV.5.1)

(IV.5.2)

 

4 e2

 

 

∂f0e

 

 

Ze

 

 

ik 1

 

 

dp

 

 

 

 

 

 

E 0.

(IV.5.3)

k

∂p

 

−

 

kp

i

 

−

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сравнивая (IV.5.2) и (IV.5.3), можно видеть, что диэлектрическая проницаемость максвелловской плазмы в фурье-представлении можно записать следующим образом:

 

4 e

2

 

 

∂f0e

 

 

 

Ze

 

1 −

 

 

 

dp

 

 

 

 

 

.

(IV.5.4)

k

 

∂p

 

kp

− 1−i

 

 

−

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим эту функцию в явном виде для того

случая, когда равновесная функция распределения является максвелловской,

107

f0

 

n

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

exp −

 

.

(IV.5.5)

 

mvT

pT2

Здесь vT2 2T/m;

pT

mvT. Решение

этой

задачи сводится, в сущности, к вычислению

интеграла

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂f0e

 

Ze

 

K ≡ dp

 

 

 

 

 

 

.

(IV.5.6)

∂p

 

 

kp

− 1−i

−

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Можно бы прямо воспользоваться формулой (IV.4.3), но мы проведём интегрирование последовательно, фактически выведя эту формулу. Вычислим производную от максвелловской функции и подставим её в (IV.5.6).

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

p/pT

dp

 

K −

 

 

 

exp

 

−

 

 

 

. (IV.5.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pT

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

kp

 

i

 

 

pT

 

 

 

 

 

 

pT

 

 

− m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

mpT

pT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Добавим к числителю дроби слагаемое

 

i

и

 

kpT

вычтем его. Введя новую переменную z p/pT,

перепишем K в следующем виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2nm

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

kpT

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

K −

 

 

 

exp −z

 

 

 

 

 

 

dz

exp −z

dz.

 

pT2 k

 

 

 

z−m

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последний

−

 

 

 

 

 

в

 

 

kpT

 

 

−

равен

 

 

 

.

 

интеграл

 

 

 

 

 

(IV.5.8)

 

 

 

Обозначим х

 

m

, 1

 

 

 

 

 

и перепишем первый

 

 

 

kpT

 

 

 

 

 

 

kpT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интеграл в (IV.5.8) в следующем виде:

108

 

 

 

m

i

 

 

 

 

m

i

 

 

 

exp −z2

 

kpT

 

dz

exp −z2

kpT

dz. (IV.5.9)

 

 

 

z − m

i

 

z − x − i 1

−

 

 

kpT

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрирование здесь можно выполнить вдоль действительной оси в комплексной плоскости z (рис. 21.

Подынтегральная функция в верхней полуплоскости имеет полюс вблизи действительной оси, около которой линейное приближение неприменимо. Однако можно обойти полюс по полуокружности снизу, так как интеграл от точной поправки к функции распределения не имеет полюсов между действительной осью и выбранной дугой. Дугу выбираем так, что на ней всё еще применима теория возмущений, но экспонента под интегралом мало отличается от её значения на действительной оси под полюсом.

Рис. 21. Контур интегрирования в (IV.5.9)

Тогда интеграл (IV.5.9) распадается на два: интеграл в

109

смысле главного значения при → 0 и интеграл по дуге. Интеграл по дуге равен половине интеграла по окружности вокруг полюса, который по теореме о вычетах равен 2 i exp −x2 . Окончательно получаем:

k, 1

4 ne2

1 F

 

 

.

k2T

kvT

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

exp −z2

 

 

 

F x

 

 

z − x

dz

 

 

 

−

 

 

 

VP

 

 

 

 

 

 

 

i

x exp −x2 .

 

(IV.5.10)

(IV.5.11)

Эта функция табулирована. Её также можно

представить в виде ряда при х

 

 

→ 0 и в виде

kvT

асимптотического

 

 

ряда

 

при

→ .

При

 

 

 

х

x 1

дробь

1

 

 

 

 

 

 

представляется

в

 

z x

 

 

 

 

 

виде:

1

−

1

1

 

z

 

 

z

3 . . .

.

 

Подставляя

z x

x

x

x

 

это выражение в (IV.5.11) и учитывая, что нечётные

члены при интегрировании выпадут, получаем:

 

 

 

F x −

1

1

 

 

 

 

3

 

. . .

 

(IV.5.12)

 

 

2x2

4x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i x exp −x2 ; x 1.

Вобратном предельном случае x 1 действительную часть Re F x можно преобразовать следующим образом:

110

Источник: https://studfile.net/preview/16708796/

Смотрите также:

_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "
"Логистическая технология JIT"