Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011
а тангенциальная – |
|
|
|
|
vnvt − |
1 |
HnHt 0. |
(VI.2.10) |
|
4 |
||||
|
|
|
Здесь vt и Ht – тангенциальные составляющие скорости и магнитного поля на границе.
Из уравнения divH 0 легко видеть, что непрерывна нормальная составляющая магнитного поля
Hn 0 , |
(VI.2.11) |
а из условия divE 4 ni − ne e |
следует |
непрерывность тангенциальной составляющей электрического поля. В идеально проводящей среде с нулевым градиентом давления индукционное
электрическое |
поле |
определяется |
формулой |
||
E |
1 |
V, H |
|
|
|
c |
|
легко переходит в более |
|||
Условие Et 0 |
|||||
удобное Etn |
0. |
С помощью |
последнего |
||
получаем: |
|
|
|
||
|
|
HnVt − Htvn 0 . |
(VI.2.12) |
||
Введем поток массы через разрыв:
jvn.
Сучетом условий j 0, Hn 0 остальные условия на границе разрыва можно написать в виде:
j w |
j2 |
|
vt2 |
|
Ht2 |
|
Hn |
Htvt , |
(VI.2.13) |
|
2 2 |
2 |
4 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
156
|
2 |
1 |
|
1 |
2 |
|||||
P j |
|
|
|
|
|
|
Ht 0, |
|||
|
2 |
8 |
||||||||
|
|
j vt |
Hn |
Ht , |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||
|
|
Hn vt j |
Ht |
. |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Это и есть основная система уравнений, описывающих разрывы в гидродинамике.
При этом возможны разрывы двух различных типов: ударные волны и тангенциальные разрывы.
Рассмотрим прежде всего разрывы, в которых поток вещества через границу равен нулю, т.е. жидкость движется параллельно поверхности разрыва v1n v2n 0, т.е. j 0. Если при этом Hn ≠ 0, то из (VI.2.16) находим vt , т.е. скорость на границе непрерывна. Из (VI.2.15) получаемHt 0. Это означает, что непрерывен вектор H. Из (VI.2.14), следовательно, имеем непрерывность давления P 0.
Cкачок могут испытывать плотность, температура и т.п. Такой скачок, который представляет собой просто границу раздела между двумя слоями с различными плоскостями и температурами, носит название контактного.
Если при j 0 также обращается в ноль и нормальная составляющая магнитного поля,
Hn 0, то уравнения (VI.2.12), (VI.2.15) и (VI.2.16)
удовлетворяются тождественно. Такой тип разрывов называется тангенциальным. На таком
(VI.2.14)
(VI.2.15)
(VI.2.16)
157
разрыве скорость и магнитное поле параллельны его поверхности и испытывают произвольные по величине и направлению скачка. Произволен также скачок плотности. Из (VI.2.14) получаем непрерывность на границе полного (плазменного плюс магнитного) давления. Окончательно для тангенциального разрыва получаем:
|
j 0 , |
|
(VI.2.17) |
||
|
Hn 0 , |
|
(VI.2.18) |
||
P |
Ht2 |
0 , |
(VI.2.19) |
||
|
|||||
|
|
8 |
|
|
|
≠ 0; |
vt ≠ 0; |
Ht ≠ 0 |
(VI.2.20) |
||
VI.3. Вращательные разрывы
Рассмотрим теперь разрывы, в которых плотность не испытывает скачка,
0. |
(VI.3.1) |
В таких разрывах вследствие непрерывности j не испытывает скачка и нормальная составляющая скорости:
158
vn 0. |
(VI.3.2) |
Вынесем в правой части (VI.2.15) за скобки , разделим почленно (VI.2.15) на (VI.2.16) и, извлекая корень, получаем поток через границу:
j Hn |
|
|
4 . |
(VI.3.3) |
Тогда из уравнения (VI.2.15) получаем скачок тангенциальной скорости:
vt Ht . 4
Теперь нетрудно показать, что и скачок внутренней энергии обращается в ноль. Действительно, подставим в (VI.2.13) энтальпию в
виде w |
|
P |
|
|
и Hn |
j |
|
4 |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
j |
|
j |
|
P |
|
Ht2 |
|
|
|
|
|
j3 |
|
j vt2 |
|
(VI.3.4) |
||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
2 2 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
Ht, vt |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из (VI.2.14) следует P |
|
Ht2 |
0, и от второго |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
только j |
|
Ht2 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
||||
члена остается |
|
|
. |
|
Третий |
член в |
силу |
|||||||||||||||
8 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
159
непрерывности j и зануляется.
В результате после сокращения на j имеем:
|
Ht2 |
|
vt2 |
− |
2 Htvt |
0. |
(VI.3.5) |
|
8 |
2 |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
В силу (VI.3.4) сумма последних трех членов в (VI.3.5) обращается в ноль. В результате во вращательном разрыве непрерывными оказываются внутренняя энергия и прочие термодинамические функции. Следовательно, P 0, и из (VI.2.14) получаем H2t 0. Совместно с условиемHn 0 находим, что скачок модуля магнитного поля равен нулю,
Hn2 Ht2 0 , |
(VI.3.6) |
т.е. на границе разрыва магнитное поле, не меняясь по величине, поворачивается вокруг нормали.
Согласно (VI.3.4), vt также не меняется по величине, а поворачивается вокруг нормали к поверхности разрыва в системе отсчета, где
v1t H1t |
1 |
; v2t |
H2t |
. |
|
4 |
4 |
||||
|
|
|
Рассмотрим устойчивость тангенциального разрыва. Все величины представим как невозмущенные плюс малое возмущение; v0, H0, P0 постоянны с каждой стороны разрыва:
v v0 v′ ; |
P Po P′ ; |
H H0 H′. |
160