Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Введем также обозначение u H/ 4 Линеаризованные МГД - уравнения принимают

вид:

divv′ 0 ,

(VI.3.7)

∂u′

u, v′

− v, u′,

(VI.3.8)

∂t

∂v′

v0, v′ −

P′ − u0, rotu′ .

(VI.3.9)

∂t

Представим правую часть уравнения (VI.3.9) в

виде

−

P′ u0, u′ u0, u′

возьмем

дивергенцию от этого уравнения

div v0, v′

−

P′ − div u, , u′ .

(VI.3.10)

Левая часть уравнения обращается в ноль. Это легко показать в компонентах. Пусть v0 направлена вдоль оси x.

∂∂x v0 ∂∂x v′x ∂∂y v0 ∂∂x v′y ∂∂z v0 ∂∂x v′z

v0 ∂∂x divv′ 0.

Последний член в (VI.3.10) можно представить в виде: div u, , u′ div u0, u′ − u0, u′ 0 в

силу divv′ 0

В результате получаем:

161

P′ uu′ 0.

(VI.3.11)

Пусть плоскость разрыва совпадает с плоскостью x 0, а v и u параллельны этой плоскости. Будем искать решение для возмущения в виде e−i tikyyxiktz æx, причем

æ0 при x 0;

æ0 при x 0.

Вэтом случае возмущение будет затухать при

x→ .

Тогда из уравнения (VI.3.11) получаем

k2 − æ2 p′k, uu′k, 0 ,

что дает
		k2 æ2.							(VI.3.12)
Из x – компоненты уравнения (VI.3.9) имеем:
ux′ u0, k vx′ − k, v0 ux′ 0 ,									(VI.3.13)
а из x – компоненты (VI.3.10):
′	æ			′		′		′
k, v0 − vx	−		P		u0, u		ux ku0		(VI.3.14)

Подставляя последнее vx′ из (VI.3.13), имеем:
P′ u0u′ −ux′									(VI.3.15)
						æ k, u0
− k, v0 2 − k, u0 2 .
Пусть y, z, t			–		смещение			поверхности

162


разрыва в направлении x.
Условия P		Ht2	0,		Hn 0 на смещенной
Условия P		8	0,		Hn 0 на смещенной
поверхности дают:
P u0	u′ 2 P 2 u0, u′					0,	(VI.3.16)
un1	un′ 1		≈ ux′1	− u1, 0,			(VI.3.17)
un2	un′ 2		≈ ux′2	− u2, 0.			(VI.3.18)

Компонента возмущенной скорости u′n состоит из двух частей: вариации на возмущенной границе и появившейся нормальной составляющей за счет искривления границы:

	un′ un′	x 0 un0 sin ,				(VI.3.19)
где – угол между осью x и касательной к
возмущенной границе. Угол мал, поэтому можно
положить ≈ tg ≈			∂	, где l – координата вдоль
положить ≈ tg ≈			∂l	, где l – координата вдоль
невозмущенной границы.
Ищем	в виде const eikr−i t.				С помощью
(VI.3.15) раскрываем (VI.3.16) и, выражая ux′1 и ux′2
через , u1, u2 и k, получаем дисперсионное
уравнение
− kv1 2 − kv2 2 ku1 2 ku2 2.						(VI.3.20)
Плазма устойчива, т.е. отсутствуют решения c
Im 0,	если		положителен		детерминант

квадратного уравнения:

163

2 ku1 2 2 ku2 2 − k, v2−v1 2 0,

или

2kikk u1iu1x u2iu2k − kikx v2k − v1k

(VI.3.21)

v2i − v1i ≥ 0.

Это неравенство должно выполняться для всех k. Это можно переписать так:

		kikkAik ≥ 0.			(VI.3.22)
Если ввести		величину	v v2−v1, матрицу
можно переписать так:
Aik	2u12x 2u22x − vx		2u1xu1y 2u2xu2y − vxvy		(VI.3.23)
	2u1yu1x 2u2yu2x − v2yvx			2u12y 2u22y − vy2
Квадратичная форма kikkAik неотрицательна,
если неотрицательны SpAik и DetAik
	SpAik	2u12 2u22		− v2 0,	(VI.3.24)
	DetAi1 4 u1u2 2 − u1v 2			− u2v 2 ≥ 0.	(VI.3.25)
Это можно переписать так:
	u1, H2	≥ 2 H1, v 2 H2, v 2,			(VI.3.26)
	H1, H2 2	≥ 2 H1, v 2 H2, v 2 .			(VI.3.27)

Одновременное выполнение этих двух условий

164

и является условием устойчивости тангенциального разрыва.

В заключение оценим времена расплывания разрывов. Пусть все величины зависят только от x. Оценим сначала скорость расплывания за счет конечной проводимости. Уравнение для магнитного поля напишется в виде

∂H

v, H

H, v

(VI.3.28)

∂t

Его тангенциальная составляющая дает:

∂Ht

∂2Ht

(VI.3.30)

∂t

4 ∂x2

Пусть – время, за которое размывается разрыв,

а - его ширина, тогда оценка дает:

или

c2t

(VI.3.31)

т.е. ширина слоя растет как корень из времени. С другой стороны, скорость расплывания разрыва

за счет вязкости можно оценить так:
	∂vt	≈ vt , что дает	vt	vt	, т. е.	t .
	∂t		t	2

И в этом случае зависимость корневая.

165

Источник: https://studfile.net/preview/16708796/

Смотрите также:



_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "
"Логистическая технология JIT"