Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011
Этот параметр равен отношению плазменного давления к магнитному и часто используется в теории магнитного удержания. Введем также угол между невозмущенным магнитным полем H0 и направлением распространения волны (или волновым вектором k ). Тогда решение (VI.1.25) можно было переписать так:
u2,3 |
vA 1 |
2 cos |
|
|
(VI.1.29) |
||||||||
|
|
|
|
1 − 2 |
cos . |
|
|
|
|
||||
Разлагая это выражение в ряд по , получаем: |
|
||||||||||||
u2 vA 1 |
|
|
sin |
2 |
vA |
Us2 |
sin |
2 |
, |
(VI.1.30) |
|||
|
2 |
|
|
2vA |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u3 |
vA |
cos us cos . |
|
|
|
(VI.1.31) |
|||||||
Волну, соответствующую u2, называют быстрым звуком, а u3 – медленным.
Рассмотрим два частных случая. Пусть волна распространяется перпендикулярно невозмущенному магнитному полю, cos 0. Тогда даже при произвольном
u2 |
vA2 us2 , |
(VI.1.32) |
u3 |
0. |
(VI.1.33) |
При продольном распространении, cos 1,
151
u2 vA; |
u3 us. |
(VI.1.34) |
Качественная картина распространения МГД-волн представлена на фазовой диаграмме рис. 24.
Рис. 24. Качественная фазовая диаграмма распространения МГД-волн
Фазовая скорость каждой из волн определяется следующим образом. Горизонтальная ось соответствует направлению невозмущенного магнитного поля. Радиус, проведенный под углом к горизонтальной оси, определяет направление распространения волны. Расстояние от начала координат до точки пересечения радиуса-вектора с
152
соответствующей кривой определяет фазовую скорость данной волны. Из рисунка видно, что наибольшей фазовой скоростью обладает быстрый магнитный звук, распространяющийся поперек поля.
VI.2. Тангенциальные разрывы
Уравнения идеальной магнитогидродинамики без учета диссипативных процессов допускают разрывные решения. Такие разрывы, конечно, размываются вследствие вязкости, теплопроводности и конечного сопротивления. Однако процессы размытия разрывов могут оказаться достаточно медленными, и имеет смысл изучать разрывные решения.
Пусть в потоке плазмы имеется поверхность разрыва. Если на поверхности нет процессов рождения – поглощения частиц, то нормальная составляющая потока частиц через границу должна быть непрерывна:
n1v1n − n2v2n ≡ nvn 0. |
(VI.2.1) |
Здесь vn1,2 – нормальные составляющие скорости по одну и другую стороны поверхности разрыва. Фигурные скобки означают их разность. В отсутствие энерговыделения на поверхности непрерывен также и полный поток энергии:
153
qn vn |
v2 |
|
w |
1 |
H, v, H n 0 . |
||
|
4 |
||||||
2 |
|
|
|
|
|
||
Здесь w |
|
p |
– энтальпия, |
min – |
|||
|
|
||||||
плотность, – внутренняя энергия, а последний член в фигурных скобках представляет собой нормальную составляющую вектора Пойтинга.
Очевидно, поток импульса через границу также непрерывен.
Вычислим поток импульса в идеальной магнитогидродинамике. Уравнение баланса импульса
∂∂vt v, v − P − 41 H, rotH
можно привести к дивергентному виду:
∂∂t vi div ik 0.
Здесь тензор ik представляет собой тензор плотности потока импульса.
Используя уравнения непрерывности, уравнение (VI.2.4) можно переписать так:
∂ |
vi |
∂ |
vivk |
∂vi |
vk |
∂vi |
. |
∂t |
|
∂t |
|
||||
|
∂xk |
|
∂xk |
||||
(VI.2.2)
(VI.2.3)
(VI.2.4)
(VI.2.5)
Последний член в правой части (VI.2.3) преобразуем следующим образом:
H, rotH 12 H2 − H H ,
или в компонентах
154
H, rotH |
|
|
1 |
|
∂ |
HiHk ik − Hk |
∂ |
Hi |
|
|
|||||
i |
2 |
∂xk |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂xk |
|
|
||||||
|
|
|
∂ |
|
HiHk |
ik − |
∂ |
HiHk Hi |
∂Hk |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
∂xk |
2 |
|
∂xk |
|
|
∂xk |
||||||
Последний член в силу divH 0 обращается в ноль, поэтому окончательно имеем:
H, rotH i − |
∂ |
HiHk − |
H2 |
ik . |
(VI.2.6) |
∂xk |
|
||||
|
2 |
|
|
||
Таким образом, тензор ik можно представить в виде
ik vivk P ik − |
1 |
HiHk − |
H2 |
ik . |
(VI.2.7) |
|
4 |
2 |
|||||
|
|
|
|
Так как уравнение (VI.2.4) имеет дивергентную форму, нормальная составляющая потока iknk должна быть непрерывной. Здесь n − нормаль к границе.
Действительно, проинтегрируем это уравнение по малому объему, включающему границу, причем две стороны этого объема параллельны границе, а остальные – перпендикулярны. Применяя теорему Гаусса и устремляя толщину слоя к нулю, получаем
iknk 0. |
(VI.2.8) |
Нормальная к границе составляющая этого уравнения дает:
2 |
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
P vn |
− |
|
Ht |
− Hn |
|
0 , |
(VI.2.9) |
8 |
155