Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011
∂v |
|
∂v |
v cs 0. |
(VIII.2.8) |
|
∂t |
∂x |
||||
|
|
|
Это уравнение очень похоже на уравнение (VIII.1.2), описывающее пучок невзаимодействующих частиц.
Перейдем в систему отсчета, движущуюся со
скоростью v cs или v −cs; v′ v cs. Тогда вместо (VIII.2.8) имеем:
∂v′ |
v′ |
∂v′ |
0. |
(VIII.2.9) |
|
∂t |
∂x |
||||
|
|
|
Теперь оно в точности совпадает с уравнением (VIII.1.2), описывающим поток невзаимодействующих частиц. Следовательно, на нелинейной стадии также должно происходить укручение фронта ионно-звуковой волны, переходящее в ударную волну при ∂∂vx → . На
фронте такой волны, как и на фронте всякой ударной волны, происходит диссипация механической энергии вследствие вязкости.
VIII.3. Нелинейные МГД-волны
Рассмотрим поперечную МГД-волну cos 0 , т.е. магнитный звук, в приближении 8H2P 1.
Уравнения, описывающие такую волну, имеют вид:
181
∂v |
v |
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∂ |
|
H2 |
0, |
(VIII.3.1) |
||||||
∂t |
∂x |
|
|
|
min |
∂x 8 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
∂H |
|
|
|
|
∂ |
|
|
v H |
0, |
|
(VIII.3.2) |
|||||||||
|
|
|
∂t |
∂x |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
∂n |
|
|
|
|
∂ |
|
nv 0. |
|
|
(VIII.3.3) |
|||||||||
|
|
|
∂t |
|
∂x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Из последних двух уравнений видно, что
H2 |
n2. |
(VIII.3.4) |
|
8 |
|||
|
|
Далее можно проделать все те же выкладки, что и для ионного звука. Следовательно, также должно наблюдаться укручение и "опрокидывание" фронта.
Что касается альфвеновской волны, для нее v k, поэтому v, v 0, и при больших может происходить распространение нелинейной альфвеновской волны без искажения. Однако при1 альфвеновская волна также опрокидывается из-за перекоса силовых линий.
VIII.4 Волны на мелкой воде
Рассмотрим еще один вид нелинейных волн, имеющих важное значение не только в физике плазмы, но и в геофизике – это волны на мелкой воде.
Пусть на твердую поверхность налит слой воды
182
толщиной h0. Пусть также по этому слою воды распространяется одномерная волна в направлении x, причем длина волны много больше глубины слоя h0, h0 (см. рис.26)
Ввиду малой толщины слоя можно считать, что жидкость смещается только в направлениях x, а скорость этого смещения не зависит от высоты. Жидкость будем считать несжимаемой, const. Давление жидкости определяется гидростатическим законом:
P g h − h0 . |
(VIII.4.1) |
Уравнения гидродинамики, описывающее такую волну, принимают вид:
∂v |
v |
∂v |
g |
∂h |
0. |
(VIII.4.2) |
|
∂t |
∂x |
∂x |
|||||
|
|
|
|
Уравнение непрерывности теперь перепишется так:
∂h |
v |
∂ |
vh 0. |
(VIII.4.3) |
|
∂t |
∂x |
||||
|
|
|
Рис 26. Волна на мелкой воде
183
Будем считать, что высота слоя и скорость связаны однозначно: h h v . Тогда вместо уравнений (VIII.4.2) и (VIII.4.3) можно написать:
|
|
∂v |
v |
∂v |
g dh |
∂v |
0, |
(VIII.4.4) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∂t |
|
∂x |
dv ∂x |
|
|
|||||||
∂h |
|
|
∂v |
v |
∂v |
h |
∂v |
|
0. |
(VIII.4.5) |
||||
∂t |
∂t |
∂x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|||||||
Умножая (VIII.4.5) на dhdv и вычитая из него
(VIII.4.4), получаем:
h ∂∂vx g dhdv 2 ∂∂vx ,
или
∂∂hv 
hg
и
∂v |
v |
gh |
∂v |
0. |
(VIII.4.6) |
|
∂t |
∂x |
|||||
|
|
|
|
Таким образом, и в этом случае получаем результат, аналогичный результату для ионного звука.
Полагая h h′ h0, где h′ h0, получаем:
h ≈ h0 |
dh |
|
h0 |
|
|
dv v h0 |
v |
g |
. |
(VIII.4.7) |
|
С другой стороны |
|
|
|
|
|
184
|
g h |
≈ |
g h0 |
|
1 |
|
|
|
g |
|
|
dh |
|
1 |
v , |
|
(VIII.4.8) |
||||||
|
2 |
|
|
h0 |
|
dv |
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
и вместо (VIII.4.6) получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
∂v |
|
3 |
v c0 |
∂v |
|
0 , |
|
|
|
(VIII.4.9) |
||||||||||
|
|
|
∂t |
|
∂x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
c0 |
|
gh0 . |
Переходя |
|
в |
|
систему, |
|||||||||||||||
движущуюся |
со скоростью |
c0 |
|
и |
|
вводя u |
3 |
v, |
|||||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
снова получаем уравнение |
|
∂u |
u |
|
∂u |
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∂t |
|
∂x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cо всеми вытекающими из него следствиями. Заметим, что во всех рассмотренных случаях не
учитывалась дисперсия, т.е. ∂∂k const. Учет даже
слабой дисперсии приводит к важным физическим результатам.
VIII.5. Волны в средах со слабой дисперсией. Уравнение Кортевега-де Вриза. Солитоны
Учтем малую дисперсию при распространении ионного звука. В линейной задаче для этого типа волн был получен следующий закон дисперсии:
k2r2
2 2 De .
pi 1 k2r2De
При krDe 1 дисперсия отсутствовала:≈ pikrDe, и групповая скорость не зависела от k,
185