Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011
т.е. vqr pirDe 
mTei .
Однако учет следующего малого члена в разложении выражения (VIII.5.1) приводит к появлению дисперсии:
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||
≈ pikrDe 1 − |
|
|
|
k |
|
|
rDe |
, |
(VIII.5.2) |
|||
2 |
|
|
||||||||||
vph |
Te |
|
1 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||
mi |
1 − |
|
|
k |
|
|
/k0 |
. |
(VIII.5.3) |
|||
|
2 |
|
|
|||||||||
Здесь k02 |
1 |
. Величина k0 определяет длину, |
2 |
||
|
3rDe |
|
на которой изменение групповой скорости оказывается порядка ей самой.
Учтем малую дисперсию в нелинейном уравнении для простых волн. Для этого перейдем в
систему координат, движущуюся |
со скоростью |
||||
c0 pikrDe. |
Линейное |
|
дисперсионное |
||
соотношение (VIII.5.2) преобразуется в следующее: |
|||||
|
|
c0k3 |
|
0. |
(VIII.5.4) |
|
2k02 |
||||
|
|
|
|
||
Выполняя обратное фурье-преобразование,
получаем линейное уравнение с учетом дисперсии: |
|
||||||
|
∂u |
|
cs |
|
∂3u |
0. |
(VIII.5.5) |
|
∂t |
2k02 |
|
∂x3 |
|||
|
|
|
|
|
|||
Но при конечной амплитуде возмущения
уравнение должно содержать член u ∂∂ux . Таким
образом, полное уравнение должно содержать и нелинейный член, и член, описывающий
186
дисперсию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
u |
∂u |
|
cs |
|
∂3u |
0. |
(VIII.5.6) |
|
∂t |
∂x |
2k02 |
|
∂x3 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
Это уравнение носит название "Кортевега-де Вриза" и было получено в 1895 г.
Уравнение Кортевега-де Вриза допускает новый тип решений – уединенную волну (солитон).
Для того, чтобы найти такое решение, перейдем в систему отсчета, движущуюся с некоторой, пока неопределенной, скоростью c и введем новую
переменную x − ct. |
Предположим также, |
что |
|||||||||||||||
скорость u зависит только от |
|
одной |
переменной |
||||||||||||||
: u u , т.е. в новой системе координат имеем |
|||||||||||||||||
уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
du |
u |
du |
|
|
cs |
|
∂3u |
0. |
(VIII.5.7) |
||||||
|
d |
d |
|
2k02 |
|
∂3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Это |
уравнение |
|
|
|
можно |
|
один |
раз |
|||||||||
проинтегрировать по : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
cs |
|
|
∂2u |
|
a cu − |
|
u2 |
. |
(VIII.5.8) |
|||||
|
|
|
2k02 |
|
∂ 2 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Здесь a – постоянная интегрирования. Прибавив к скорости u постоянную величину, можно добиться того, чтобы a обратилась в ноль.
Полученное уравнение в точности совпадает с уравнением, описывающим движение классической материальной точки в поле сил с потенциалом
187
w − |
cu |
2 |
|
u3 |
. |
(VIII.5.9) |
|
|
6 |
||||
2 |
|
|
|
|
||
Потенцитал представлен на рис.27.
Масса частицы при этом равна m
переменная соответствует времени, а переменная u – отклонению от точки положения равновесия. Точка u 2c соответствует положению равновесия, а малые колебания вблизи этого положения являются линейными:
u 2c u, |
|
|
2c |
x − ct . |
(VIII.5.10) |
u 2c u0 exp ik0 c0 |
Величина u0 здесь соответствует амплитуде колебаний, а решение (VIII.8.5) – периодической волне, распространяющейся со скоростью c. С ростом амплитуды колебания все более отличаются от гармонических. Если u0 достигает величины 3c, решение переходит в уединенную волну, показанную на рис. 28.
Решение при этом имеет вид:
u |
|
u0 |
|
. |
(VIII.5.11) |
|
ch2 |
|
−ct |
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||
Такое решение называется уединенной волной
(solitary wave), или солитоном.
188
Рис. 27. Эффективный потенциал
Рис. 28. Солитон
Подставим решение (VIII.5.11) в уравнение
189
(VIII.5.8), введя переменную |
y |
x−ct |
. |
Это |
||
|
||||||
уравнение удовлетворяется, если u0 |
3c, т.е. |
|
||||
2u0 |
6cs |
const. |
|
|
(VIII.5.12) |
|
|
|
|
||||
|
k02 |
|
|
|
|
|
Выбрав амплитуду и параметр 2u0, можно найти ширину солитона.
В среде с отрицательной дисперсией групповая скорость vgr v0gr 1 − 2kk22 . Неопределенная ранее
0
скорость (в системе отсчета, двигающейся со скоростью c0) равна
c |
u0 |
0 , |
(VIII.5.13) |
|
3 |
||||
|
|
|
т.е. солитон распространяется со скоростью больше скорости звука.
Полученные решения имеют интересные приложения в геофизике. С ними связывают иногда встречающиеся в океане одинокие "волны-убийцы", появляющиеся неожиданно и имеющие громадную высоту.
190