Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

Величину S называют радиусом Штермера. Функцию Q теперь можно представить в безразмерном виде:

области заштрихованы) и Q 1.

При −1 разрешенная зона распадается на две несвязанные между собой области. Края запрещенной области при этом смыкаются в экваториальной плоскости при 1. Частицы, находящиеся во внешней разрешенной области, не могут попасть во внутреннюю часть, так как при этом должны были бы пересечь запрещенную область. И обратно, частицы, находящиеся во внутренней разрешенной области, не могут покинуть ее и остаются захваченными. Это обстоятельство служит основой для объяснения существования радиационных поясов Земли и для конструирования так называемых дипольных ловушек для магнитного удержания плазмы.

Рассчитаем теперь поток частиц, который может приходить из бесконечности в данную точку пространства. Пусть на бесконечности имеется изотропный поток частиц с заданной кинетической энергией. Векторный потенциал на бесконечности обращается в ноль. Из выражений (I.1.10) и (I.3.3)

31

видно, что в этом потоке присутствуют частицы со

всевозможными значениями . Однако в точку с заданными r и могут попасть лишь те частицы,

точке наблюдения, тем не менее, может быть изотропным, если на угол между единичным вектором в полоидальном направлении и вектором скорости частицы, т.е. на величину Q не наложено никаких дополнительных ограничений. Такие ограничения, однако, возникают в точках наблюдения, для которых 1.

В такую точку из бесконечности не могут

прийти те частицы, для которых −1. Таким образом, в таких точках величина Q, т.е. косинус угла между направлением скорости и единичным вектором в полоидальном направлении, ограничена неравенством

могут приходить частицы с заданной энергией. Эту энергию называют энергией отсечки.

Поток частиц в точке наблюдения определяется теоремой Лиувилля. Так как фазовая плотность частиц вдоль фазовых траекторий сохраняется, а кинетическая энергия частиц в постоянном магнитном поле постоянна, поток частиц вдоль траекторий в обычном пространстве должен сохраняться. Таким образом, полный поток

32

заряженных частиц в точке наблюдения при1 равен потоку на бесконечности, а при 1 - потоку в единицу телесного угла на бесконечности, умноженному на величину телесного угла, определяемого неравенством (I.3.5).

.Рис. 5. Разрешенные и запрещенные зоны в поле магнитного диполя

33

I.4. Приближенные методы расчета траекторий. Адиабатические инварианты. Дрейфовое приближение.

Как можно было видеть, точный расчет движения частиц даже в случае простейших конфигураций магнитного поля является довольно сложной задачей. Трудности многократно возрастают в случае реальных конфигураций поля. Поэтому были развиты и успешно работают приближенные методы для тех случаев, когда характерный размер, на котором существенно меняется поле, много больше ларморовского радиуса частицы, а характерное время изменения поля много меньше циклотронной частоты.

В однородном поле траектория частицы представляет собой спираль с радиусом mVeH c .

Введем цилиндрическую систему координат с осью z, совпадающей с осью спирали. Движение частицы будет периодическим по угловой координате . Пусть теперь магнитное поле стало слабо неоднородным или медленно меняющимся во времени в указанном выше смысле. Как известно из механики (см. напр. [4]), если частица совершает почти периодическое движение по обобщенной

координате q, то величина I Pdq, где

интегрирование ведется по невозмущенной траектории, сохраняется. В нашем случае должна

34

Элемент dl можно представить в виде dl d . Используя теорему Стокса, можно написать:

Здесь dS - элемент поверхности, перпендикулярной полю. Знак « минус» перед членом, содержащим ротор, связан с тем, что направление вращения частицы противоположно направлению обхода контура в теореме Стокса. Последний член в (I.4.1) приближенно равенHdS 2H. Подставляя это выражение в (I.4.1),

окончательно получаем:

cm mV2e H .

35