Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

Таким образом, величина mV2H2 является

первым адиабатическим инвариантом. Она с точностью до постоянной совпадает с магнитным моментом, создаваемым частицей, вращающейся по ларморовской окружности. В большинстве задач по магнитному удержанию она сохраняется с хорошей степенью точности.

С помощью первого адиабатического инварианта можно проиллюстрировать запирание частицы в простейшей магнитной ловушке – пробкотроне. Она представляет собой два кольца с током, расположенные на общей оси (см. рис. 6). Пусть нерелятивистская частица начинает движение из точки 0 в направлении точки 1. Заметим, что H0 H1. Используя выражение для кинетической энергии Ekin m2 (v2 v2 ) const, и

связь между компонентой скорости, перпендикулярной магнитному полю, и , можно найти параллельную магнитному полю составляющую скорости:

Очевидно, что правая часть выражения (I.4.3) должна быть неотрицательна. Таким образом,

36

m V0 2

область, в которой H1-H0 2 , оказывается

недоступной для рассматриваемой частицы. Точка, в которой параллельная скорость обращается в ноль, является точкой поворота и определяется условием:

Рис.6. Схема силовых линий в пробкотроне. Квадратиками обозначены кольца с током

Это условие можно переписать так:

37

угла между скоростью и магнитным полем в точке 0. Этот угол называется питч-углом. Если точка 1 соответствует максимальному значению магнитного поля в пробкотроне, то все частицы, для

оказываются запертыми. Точка 1 в этом случае называется пробкой. Частицы, для которых 0, уходят из ловушки. Соответствующий телесный угол называется конусом потерь.

Очевидно, что запертые частицы совершают квазипериодическое движение между пробками (квазипериодическое, а не просто периодическое потому, что частица еще дрейфует вокруг оси ловушки, как мы увидим далее). Поэтому должен существовать второй адиабатический инвариант

Так как H rotA, можно положить A 0. Параллельную составляющую скорости можно выразить через полную скорость и первый адиабатический инвариант:

38

Здесь интеграл берется между двумя точками поворота.

Выражение (I.4.8) определяет второй адиабатический инвариант.

Как уже отмечалось, в пробкотроне частица не только колеблется между точками отражения, но и дрейфует вокруг оси системы. Действительно, в плоскости,проходящей через точку 0, магнитное поле нарастает к оси. Следовательно, ларморовский радиус на меньших расстояниях будет меньше. Следовательно, частицы будет дрейфовать в полоидальном направлении (см. рис. 7)

Таким образом, наблюдается третий вид квазипериодического движения, и должен существовать еще один, третий адиабатический инвариант,

При интегрировании вклад дает только средняя перпендикулярная скорость, которой можно пренебречь. В результате получаем:

H dS .

s

Здесь – магнитный поток внутри траектории. Адиабатические инварианты, полученные на примере движения частицы в пробкотроне, имеют гораздо более общий смысл. При этом условия

39

сохранения второго и третьего инвариантов являются гораздо более строгими, чем первого. Действительно, если для первого инварианта магнитное поле должно меняться на расстояниях, значительно превышающих ларморовский радиус за времена, не превышающие обратную ларморовскую частоту, то во втором и третьем случаях такими параметрами являются расстояние между пробками и радиус усредненной траектории и соответствующие периоды квазипериодических движений, которые обычно значительно больше.

Рис. 7. Проекция траектории частицы в пробкотроне на плоскость, перпендикулярную оси установки.

40