Материал: Муравев Инженерная олимпиада школников 2016
пропорции на два тока, причем отношение этих токов не равно 2:1 из-за нелинейной вольтамперной характеристики ламп. Найдем эти токи. Пусть в верхнем участке соединения одной и двух ламп течет ток Iв , в нижнем – Iн . Тогда для этих токов справедливы условия –
сумма токов равна I0 , напряжения на верхнем и нижнем участках
одинаковы. Находя эти напряжения из вольтамперной характеристики, получим:
Iв + Iн = I0 ;
Iαв 2 = 2 Iαн 2 .
Отсюда находим токи, а затем и напряжение на рассматриваемом участке (из вольтамперной характеристики)
Iв = |
2I |
0 |
|
U2 |
|
I |
в |
2 |
|
2I 2 |
|
|
|
|
2U |
0 |
|
|
В. |
||
|
|
; |
= |
|
|
= |
|
0 |
|
|
= |
|
|
|
=1,38 |
||||||
2 |
+1 |
|
|
( |
2 +1) |
2 |
|
( |
2 +1) |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
α |
|
|
α2 |
|
|
|
|||||||||||
При параллельном соединении двух одинаковых ламп этот ток поделится пополам – I3 = 0,15 А, а напряжение на этом участке будет равно
U3 |
|
I |
3 |
2 |
|
I |
0 |
2 |
U |
0 |
=1 В. |
||
= |
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|||||
α |
|
|
4 |
||||||||||
|
|
|
|
2α |
|
|
|||||||
Таким образом, предельное напряжение источника, при котором еще не перегорает ни одна из ламп, составляет
U =U +U |
|
+U |
|
=U |
|
+ |
2U0 |
+ |
U0 |
= 6,38 В. |
|
|
|
( 2 +1)2 |
|
||||||
1 |
2 |
|
3 |
|
0 |
|
4 |
|
||
6.3.См. решение задачи 3 из задания 9–10 класса.
6.4.В этой задаче рассматривается модель устройства, которое обеспечивает увеличение силы, – пресс или резьбовой домкрат. При действии на рукоятку винта небольшой силы можно получить значительные прижимающие усилия, при условии, что резьба имеет достаточномалый шаг (расстояние междусоседними бороздками).
86
Итак, пусть угол подъема резьбы – α. На шток действуют: искомая сила реакции со сторо-
ны заготовки |
N , направленная |
α |
|
||
вертикально |
вверх, внешние |
N |
(«закручивающие») силы на рукоятку, создающие момент, и сила реакции со стороны резьбы.
Пусть на малом интервале длины резьбы x на шток действует
сила реакции N , перпендикулярная резьбе (перпендикулярная – так как нет трения; см. рисунок). Сумма вертикальных проекций
силы N , действующих на все ее участки, компенсирует силу N
со стороны заготовки, проекции силы N на ось, перпендикулярную оси заготовки, создает момент, компенсирующий момент внешних сил M. Поэтому
N = |
N cos αl; |
|
x |
M = |
N sin αlR, |
|
x |
где l – длина резьбы; R – радиус штока. Деля первое соотношение на второе, получим
|
M = NR tgϕ. |
|
|
(1) |
||
С другой стороны, для каждого участка |
резьбы длиной x |
|||||
справедливы равенства |
|
|
|
|
|
|
x = |
l |
, |
x = |
h |
|
, |
|
sin α |
|||||
|
cos α |
|
|
|||
где l и h – проекции участка рассматриваемого участка резьбы на перпендикулярное и продольное направление. Поэтому суммирование таких проекций по одному витку резьбы дает
2πR tg α = h ,
где h – шаг резьбы (расстояние между соседними бороздками). Отсюда и формулы (1) получаем
N = 2πhM .
87
Из этой формулы следует, что, используя резьбу с маленьким шагом, можно получить существенный выигрыш в силе (который, однако, не может быть бесконечно большим (при h →0 ), так как такую нагрузку не выдержит резьба). Из-за значительного выигрыша в силе рассмотренная конструкция используется в механических домкратах.
|
Для знакомых с методом возможных перемещений отметим, что |
|||
этим методом задача решается буквально в одно действие. |
||||
А |
|
|
C |
6.5. В этой задаче рассматрива- |
|
|
ется известная цепь, которая назы- |
||
|
|
|
|
|
Rвается «диодный ключ» (и ее модификации). Чтобы понять, как рабо-
|
|
тает эта цепь, рассмотрим более |
|
В |
D |
простой пример. Пусть есть элек- |
|
трическая цепь, содержащая рези- |
|||
|
|
||
|
|
стор, ключ и не имеющие сопротив- |
|
ления провода. Пусть к клеммам АВ этой цепи (вход цепи) мы при- |
|||
кладываем некоторое электрическое напряжение, а с клемм CD на- |
|||
пряжение «снимаем» (т.е. клеммы CD являются источником элек- |
|||
трического напряжения для некоторого другого электрического |
|||
устройства; поэтому CD и называют «выходом» цепи). Вопрос: как |
|||
зависит снимаемое напряжение от того, замкнут или разомкнут |
|||
ключ? |
|
|
|
Ответ очевиден. Если ключ замкнут, падение напряжения CD на |
|||
не имеющем сопротивления ключе и проводах равно нулю, если |
|||
ключ разомкнут ток в цепи не течет и «выходное» напряжение CD |
|||
равно «входному» напряжению АВ. Таким образом, ключ как бы |
|||
открывает или закрывает передачу напряжения от «входа» АВ к |
|||
«выходу» CD. |
|
|
|
Очевидно, что вместо ключа можно использовать диод, который |
|||
не имеет сопротивления при приложении к нему электрического |
|||
А |
C |
напряжения одной полярности, и |
|
|
|
имеет бесконечно большое сопро- |
|
R |
|
тивление при приложении напряже- |
|
|
|
ния другой полярности (т.е. диод в |
|
|
|
этом случае, фактически, эквива- |
|
В |
D |
лентен разрыву цепи). |
|
|
|
88 |
|
U AB |
U AB |
t |
|
|
t |
|
|
|
|
||
Эта цепь работает так же, как первая цепь в зависимости от по- |
||||
лярности входного напряжения. В частности, если к входу диодно- |
||||
го ключа приложить переменное напряжение, выходное напряже- |
||||
ние будет содержать (без изменений) только напряжения одной |
||||
полярности; напряжение другой полярности будет полностью «за- |
||||
держано» цепью (см. рисунок). Таким образом, рассмотренная цепь |
||||
может выполнять функцию некоторого фильтра, задерживая на- |
||||
пряжения одной полярности, и пропуская напряжения другой. |
||||
А если в участок цепи, со- |
А |
C |
||
держащий диод, вставить источ- |
||||
ник напряжения с нулевым внут- |
|
R |
||
ренним сопротивлением, причем |
U AB > 0 |
|||
|
||||
«противоположно» диоду (см. |
|
2ε |
||
рисунок)? Такая цепь работает |
В |
D |
||
еще «хитрее». Очевидно, что ес- |
||||
|
|
|||
ли не прикладывать напряжение |
|
|
||
ко входу цепи, на ее выходе (несмотря на источник) будет нулевое |
||||
напряжение, поскольку диод в этом случае дает разрыв цепи. Если |
||||
ко входу цепи приложить напряжение той же полярности, что и |
||||
источник, диод дает разрыв цепи, и «выходное» напряжение равно |
||||
«входному». Приложим теперь напряжение другой полярности |
||||
(«по диоду», но «против» источника). Пока напряжение на входе |
||||
меньше ЭДС источника, диод закрыт, ток через диод не течет; и |
||||
выходное напряжение равно входному. Но как только напряжение |
||||
АВ превысит ЭДС источника (при противоположной полярности), |
||||
диод открывается. Поэтому согласно закону Ома для участка цепи, |
||||
содержащего ЭДС, но с нулевым сопротивлением, напряжение на |
||||
этом участке равно ЭДС независимо от внешнего напряжения и |
||||
тока через источник. |
|
|
|
|
89
Итак, что же делает рассмотренная цепь с диодом и источником? Напряжение, которое имеет полярность, противоположную диоду, эта цепь никак не задерживает. Если же ко входу цепи прикладывается напряжение «по диоду», то результат зависит от величины напряжения: если напряжение меньше ЭДС источника, оно без изменений «передается» на выход цепи, если напряжение больше ЭДС источника, оно понижается до величины ЭДС. Другими словами, эта цепь является ограничителем «скачков» напряжения одной полярности.
Ну а теперь давайте рассмотрим данную в условии цепь. Если напряжение U AB > 0 , диод в правом участке будет закрыт при лю-
бых значениях этого напряжения, и этот участок можно не рассматривать (он фактически является разрывом цепи). Поэтому при U AB > 0 данная в условии цепь эквивалентна цепи, изображенной
на рисунке справа (при U AB <0 «работает» второй участок цепи). |
||||
А |
|
|
C |
Так как сопротивление источ- |
|
|
ника равно нулю, из закона Ома |
||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
для участка цепи, содержащего |
|
|
|
ЭДС, заключаем, что при любом |
|
U AB > 0 |
|
|
|
|
|
2ε |
|
токе через источник напряжение |
|
|
|
|
||
В |
|
|
D |
на участке CD равно ЭДС источ- |
|
|
ника 2ε . Если же ток через ис- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точник не течет, цепь фактически |
разорвана и напряжение на участке CD равно напряжению на уча- |
||||
стке АВ. А ток через диод потечет, если напряжение АВ будет |
||||
больше 2ε . Таким образом, пока напряжение 0 <UAB < 2ε , выход- |
||||
ное напряжение равно входному; как только напряжение U AB пре- |
||||
высит |
2ε , |
выходное напряжение будет равно 2ε независимо от |
||
напряжения АВ. Другими словами, рассматриваемая цепь «обреза- |
||||
ет» скачки входного напряжения. Второй участок дает ограничения |
||||
на отрицательные напряжения U AB , которые по величине превос- |
||||
ходят ε . |
|
|
|
|
Это значит, что график выходного напряжения при условии, что |
||||
U1,U2 |
<ε совпадает с графиком входного напряжения. |
|||
|
|
|
|
90 |