Материал: Муравев Инженерная олимпиада школников 2016

основной шкалы. В этом случае работает шкала нониуса, которая позволяет определить размер предмета с точностью до 0,1 мм без нанесения делений с ценой деления 0,1 мм.

Основная идея работы нониуса – фактическое «раздвижение» каждого миллиметрового деления основной шкалы. Технически нониус работает так. Поскольку цена деления шкалы нониуса равна 0,9 мм, то десять делений шкалы нониуса (полная шкала) равны 9 мм, девять делений шкалы нониуса – 8,1 мм, восемь делений шкалы – 7,2 мм, семь делений – 6,3 мм, шесть делений – 5,4 мм, пять делений – 4,5 мм, четыре деления – 3,6 мм, три деления – 2,7 мм, два деления – 1,8 мм, одно деление – 0,9 мм. Поэтому если размер предмета равен целому числу миллиметров плюс 0,9 мм, расстояние от нуля шкалы нониуса до следующего миллиметрового деления основной шкалы будет равно 0,1 мм, и с одним из делений основной шкалы совпадет девятое деление шкалы нониуса (поскольку оно находится от нуля шкалы нониуса на расстоянии 8,1 мм). Если размер предмета равен целому числу миллиметров плюс 0,8 мм, расстояние между нулем шкалы нониуса и следующим миллиметровым делением основной шкалы равно 0,2 мм, и с одним из делений основной шкалы совпадет восьмое деление шкалы нониуса. Если размер предмета равен целому числу миллиметров плюс 0,7 мм, расстояние между нулем шкалы нониуса и следующим миллиметровым делением основной шкалы равно 0,3 мм, и с одним из целых значений основной шкалы совпадет седьмое деление шкалы нониуса и т.д. Таким образом, размер предмета определяется так: он равен целому числу миллиметровых делений основной шкалы, которое «перешагнул» нуль шкалы нониуса, и такому числу десятых долей миллиметра, какое деление шкалы нониуса точно совпало с одним из миллиметровых делений основной шкалы (для примера, показанного на рисунке, – 7,6 мм).

8.2. Проще (и точнее) всего объем тела человека оценить, как V = m / ρ, где в качестве плотности нужно взять плотность воды

1000 кг/м3 = 1 кг/л, поскольку тело человека содержит много воды. Таким образом, объем тела человека в литрах численно равен его весу в килограммах. Это значение приближенное, в том числе и потому, что объем тела человека меняется при дыхании. Точность этой оценки можно оценить так. Объем легких взрослого человека 5–6 л. При дыхании вентилируется около 1 л объема легких. Как

96

мы знаем, тело человека при полном вдохе плавает на поверхности воды, при полном выдохе – тонет (изменение объема тела – и соответственно средней плотности – при вдохе-выдохе используют аквалангисты для подъема или погружения). Это значит, что при наполнении легких средняя плотность тела становится чуть меньше плотности воды, при выдохе – чуть больше. Поэтому точность нашей оценки объема ±1 л .

8.3. В самом верху колонна не будет сжата, в середине – сжата половиной своего веса, внизу – всем своим весом. Поэтому оценим среднее относительное сжатие колонны как ее относительное сжатие посередине. Малый поперечный элемент колонны толщиной l в ее середине сжимается половиной ее веса. Поэтому напряжение этого элемента σ равно

σ = FS = ρgh2 ,

где S – площадь сечения колонны. По закону Гука имеем для относительного сжатия ε рассматриваемого элемента

где l – деформация элемента. Если считать, что относительная деформация (*) будет у всей колонны, то ее полная деформация будет такой

h =εh = ρ2ghE2 = 2, 4 10−4 м.

8.4. Лампы, работающие в бы- товых электрических сетях, рас- считаны на напряжение 220 В. И в этом случае ламы горят нормаль- но – полным накалом. Поэтому лампы горят слабым накалом, ес- ли к каждой приложено напряже-

ние, меньшее 220 В; а это возможно, если к полюсам сети они подключены не параллельно, а последовательно. Именно на этом пути нужно искать неправильную цепь подключений. Одна из возможных схем неправильного подключения ламп, показана на левом рисунке. Правый рисунок дает правильную схему включения ламп.

97

где w – мощность выделения энергии внутри станции; σ – коэффициент пропорциональности в законе Стефана–Больцмана (постоянная Стефана).

Что же будет происходить когда станцию окружили оболочкой? Ясно, что в установившемся режиме вся выделившаяся внутри энергия должна быть излучена оболочкой. Применяя к оболочке закон Стефана–Больцмана и учитывая, что ее радиус вдвое больше радиуса станции, получим

ратуру поверхности станции можно найти из следующих соображений. Оболочка излучает энергию (**) и наружу и внутрь. Поэтому, в установившемся режиме поверхность станции должна излучать вдвое большую энергию, а для этого у нее должна возрасти температура. Отсюда находим новую температуру поверхности станции

Tc′ = 4 2T .

8.6. Очевидно, трение будет препятствовать вытаскиванию направляющей вправо, поскольку может возникнуть эффект заклинивания – сила трения между направляющей и шариком «потянет» шарик вправо, это приведет к увеличению сил реакции, что в свою очередь увеличит трение. Нарушение работы храпового механизма рассматриваемого типа может происходить в двух местах. При малом трении между шариком и направляющей направляющую можно вытащить вправо, и шарик не будет ей мешать, но при этом не будет вращаться, поскольку вращаться ему не позволит трение между ним и корпусом. При малом трении между шариком и корпусом проскальзывание между шариком и направляющей не будет возникать, но направляющую можно вытащить вправо, вращая ша-

98

рик, поскольку его вращению не мешает трение между ним и корпусом. Таким образом, и трение между направляющей и шариком, и трение между шариком и корпусом необходимы для нормальной работы храпового механизма рассматриваемого типа, причем по условию нарушаться его работа будет при проскальзывании шарика относительно корпуса (там, по условию, меньше трение).

Пусть на направляющую действует горизонтальная сила F, направленная вправо. Пока механизм работает, шарик находится в равновесии. Поэтому применим к шарику условия равновесия и исследуем возможность их нарушения.

N1

Fтр,2

N2

На шарик действуют – сила трения со стороны направляющей Fтр,1 , направленная вправо и равная внешней силе, поскольку направляющая находится в равновесии, сила трения со стороны корпуса Fтр,2 , направленная вправо вниз (по часовой стрелке, посколь-

ку в отсутствии трения между шариком и корпусом шарик вращался бы против часовой стрелки, а трение препятствует этому враще-

нию), сила реакции со стороны направляющей N1 и сила реакции

со стороны корпуса N2 (см. рисунок). Условия равновесия шарика

и направляющей дают:

уравнение сил (горизонтальная ось)

N2 sin α − Fтр,2 cos α − Fтр,1 = 0 ;

условие сил (вертикальная ось)

N1 − N2 cos α − Fтр,2 sin α = 0 ;

условие моментов (относительно центра шарика)

99

Fтр,1 = Fтр,2 ;

условие равновесия направляющей

Fтр,1 = F ,

где α – угол наклона наклонной грани корпуса (см. рисунок в условии задачи; силой тяжести шарика пренебрегаем по сравнению с силами реакции и трения). Из этой системы уравнений находим N1

и N2 :

N1 = N2 = (1+cos α)F .

С ростом внешней силы F растут силы реакции и максимальные значения сил трения. Поэтому равновесие не нарушится при любом значении внешней силы, если выполнено условие

(при этом аналогичное условие между направляющей и шариком также не нарушится, поскольку силы реакции N1 и N2 одинаковы,

а коэффициент трения между шариком и корпусом меньше коэффициента между шариком и направляющей). Отсюда получаем ограничение на угол наклона грани корпуса механизма

α ≤ 2arctgμ.

9.1. См. решение задачи 8.1. 9.2. См. решение задачи 8.2. 9.3. См. решение задачи 8.4.

9.4. Поскольку процессы 1–2 и 3–4 – адиабатические, КПД цикла определяется соотношением

η= Q2−3 −Q1−4 , Q2−3

где Q2−3 – количество теплоты, полученное на участке 3–2; Q4−1 –

количество теплоты, отданное газом на участке 1–4. Поскольку процессы 2–3 и 4–1 – изохорические

Q2−3 =αR(T3 −T2 ), Q1−4 = αR(T4 −T1 ), (*)

100