Материал: Нестационарные аэродинамические силы и аэроупругие колебания самолета. Пентюхов В.И., Будник А.П
|
2 |
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
(1.37) |
|
t |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
В свою очередь, после интегрирования (1.37) можно представить в виде
|
|
( |
)2 |
|
dp |
f (t) , |
|
t |
2 |
|
|
(1.38) |
|||
где (t) - произвольная функция времени.
В наиболее важном для авиации случае, когда на бесконечно большом удалении от крыла газовый поток характеризуется прямолинейными линиями тока, функция
f (t) может быть представлена в виде
f t |
1 |
|
2 |
C |
(1.39) |
2 V |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Используя (1.34) и (1.37), уравнение (1.35) можно представить в виде
|
1 |
2 |
|
|
2 |
1 |
2 |
|
, (1.40) |
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|||||
|
d2 t2 |
|
t |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
16
где a |
|
p |
|
|
|
|
|
|
- скорость распространения звука в газовом |
||||
|
|
|||||
потоке |
|
|
|
|
|
|
|
В случае несжимаемого потока (р = const и |
а= ) |
||||
уравнение (1.40) принимает вид |
|
|
||||
|
|
|
2 |
0. |
(1.41) |
|
|
|
|
|
|
||
|
Уравнение (1.40) может быть решено отдельно от |
|||||
уравнения движения (1.38). |
|
|
|
|||
|
Таким |
образом, в случае |
несжимаемого |
потока |
||
определение поля скоростей вокруг обтекаемого тела и распределение давлений в потоке, обтекающем тело, может быть выполнено раздельно.
Решение уравнений (1.38) и (1.40) должно удовлетворять определенным граничным условиям.
При обтекании непроницаемых тел условие на границе обтекаемого тела состоит в том, что во всех точках поверхности последнего составляющая скорости идеального газа, нормальная к этой поверхности, определяется движением самого обтекаемого тела.
Можно показать [4], что если уравнение поверхности обтекаемого тела при неустановившемся движении имеет вид:
F x, y, z, t 0 , |
(1.42) |
то граничные условия на всей его поверхности можно представить в виде
17
F |
Vx |
F |
Vy |
F |
Vz |
F |
0 |
(1.43) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
t |
x |
|
y |
|
z |
|
|
||||||
При установившемся |
течении, когда F F x, y, z , |
||||||||||||
граничное условие (1.43) можно представить в виде
F 0 |
(1.44) |
Равенство (1.44) выражает тот факт, что при установившемся обтекании непроницаемого тела потоком идеального газа составляющая скорости потока, нормальная к поверхности обтекаемого тела, должна быть равна нулю.
При определении неустановившегося поля скоростей вокруг крыльев и других тонких тел граничное условие (1.43) можно упростить.
Действительно, в этом случае уравнение поверхности тела можно представить как два отдельных уравнения. Для верхней и нижней поверхностей. Подставляя уравнения верхней и нижней поверхности крыла в виде
Ув |
Ув x, z, t |
Ун |
Ун x, z, t |
;(1.45)
,(1.46)
граничное условие (1.43) можно преобразовать к следующему виду:
Vyв |
Ув |
Vx |
Ув |
Vz |
Ув |
. (1.47) |
|
t |
|
x |
|
z |
|
|
|
|
|
18
Vyн |
Ун |
Vx |
Ун |
Vz |
Ун , (1.48.) |
||
t |
x |
z |
|
||||
|
|
|
|||||
где Vy в и Vyн - вертикальные составляющие скорости на
верхней и нижней поверхностях крыла. неустановившегося потока идеального газа
Крылья современных самолетов имеют малую относительную толщину. Поэтому можно полагать, что они вносят малые возмущения в поток, обтекающий их, и что
производные Ув х , Ув z , Ун х , Ун z … в большинстве
точек их поверхности имеют малые значения.
Эти допущения лежат в основе теории малых возмущений, в соответствии с которой потенциал скорости потока может быть представлен как [1, 4]
V x , |
(1.49) |
что, в свою очередь, позволяет представить уравнения (1.38), (1.40) и граничные условия (1.47), (1.48) в следующем виде:
|
P |
P |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.50) |
||||
|
|
|
x |
t |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
0. |
(1.51) |
|||||
2 |
|
|
|
|
2V |
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
d |
|
|
t2 |
|
|
x t |
|
x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
VyB |
|
|
Ув |
V |
Ув . |
|
|
|
|
(1.52) |
|||||||
|
|
|
t |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|||||
Vун |
Ун |
V |
Ун , |
(1.53) |
|
t |
x |
|
|
||
|
|
|
|||
где 
- потенциал возмущения скорости;
V - скорость одномерного невозмущенного потока; p - давление в невозмущенном потоке;
- скорость распределения звука в невозмущенном
потоке.
1.3. Частотные характеристики нестационарных аэродинамических сил и моментов
Рассмотрим тонкое крыло, колеблющееся в несжимаемом потоке газа.
Для определения поля скоростей вокруг такого крыла необходимо решить уравнение (1.51), которое для несжимаемого потока принимает вид
2 |
0. |
|
|
(1.54) |
Решение уравнения (1.54) должно удовлетворять граничным условиям (1.52), (1.53), которые для тонкого крыла с хордой 2В можно записать как
Vун |
Ун |
V |
Ун |
(1.55) |
|
t |
|
x |
|
|
|
|
при y=0 и в x в, что соответствует расположению начала осей координат в середине хорды крыла и замене поверхности крыла областью плоскости xz .
20