Материал: Нестационарные аэродинамические силы и аэроупругие колебания самолета. Пентюхов В.И., Будник А.П

Решение уравнения (1.54) должно также удовлетворять постулату Жуковского - Чаплыгина о конечности поля скоростей во всей области течения, включая заднюю кромку крыла.

Для колеблющегося крыла решение уравнения (1.54) может быть получено по методу Теодорсена [4, 20], в соответствии с которым крыло заменяется системой источников и стоков и совокупностью вихрей, а спутная струя заменяется совокупностью вихрей той же интенсивности, что и крыло, но противоположного направления. Каждый из потоков находится путем применения конформного преобразования Н.Е. Жуковского для отображения окружности на контур профиля.

В результате получается, что скорость q , создаваемая в

произвольной точке окружности всем слоем источников и стоков, удовлетворяющих граничному условию (1.55), может быть определена из следующего соотношения [4]:

Этой скорости соответствует следующий потенциал возмущения скорости на верхней половине окружности [4]:

Подстановка (1.57) в уравнение (1.50) с учетом антисимметричности течения, создаваемого источниками и стоками, приводит к следующему выражению для разности давлений на верхней и нижней поверхности профиля:

21

Интегрирование (1.58) по поверхности крыла единичного размаха приводит к следующим выражениям для подъемной силы и продольного момента профиля относительно точки x r , обусловленным бесциркуляционным

потоком, создаваемым источниками и стоками:

Равенства (1.59) и (1.60) справедливы для любого неустановившегося течения.

Из (1.59) следует, что в случае установившегося движения подъемная сила, обусловленная бесциркуляционным характером течения, равна нулю.

Для динамики летательных аппаратов практический интерес представляет случай, когда крыло совершает вертикальные перемещения h(t) и поворачивается относительно оси, проходящей через точку Х т , на угол (t) .

В этом случае функция yn (x, t) , характеризующая

мгновенное значение малого смещения линии хорды, имеет вид:

22

ускорениями, то уравнения (1.63) и (1.64) можно также представить в виде

где 1j - коэффициенты присоединенной массы;

2 j - коэффициенты присоединенного момента инерции.

Из (1.65) и (1.66) видно, что слагаемые, входящие в эти равенства, могут быть объединены с соответствующими слагаемыми в уравнениях возмущенного движения самолета.

23

В большинстве случаев эти слагаемые ввиду их малости могут не учитываться [4].

Можно показать [4], что решение уравнения (1.54), полученное за счет распределения по поверхности крыла источников и стоков, хотя и удовлетворяет граничным условиям (1.55), но для точек окружности, соответствующей задней кромке профиля, дает бесконечно большое значение скорости, что противоречит постулату Жуковского - Чаплыгина.

Чтобы обратить в нуль скорость в точке окружности, соответствующей задней кромке, на бесциркуляционный поток необходимо наложить поток от присоединенных вихрей и поток от спутной струи из стекающих вихрей (направление противоположно присоединенным). При этом вихри спутной струи непрерывно удаляются от крыла со скоростью невозмущенного потока. Положение вихрей в спутной струе необходимо выбирать таким образом, чтобы граничные условия (1.55) не нарушались.

Выбранный вихревой слой в произвольной точке окружности индуцирует скорость q , равную

где n , t - величина циркуляции, приходящаяся на единицу длины спутной струи.

Этой скорости соответствует следующий потенциал возмущения скорости:

24