Материал: Нейтринные процессы во внешнем магнитном поле в технике матрицы плотности (90

для γ-матриц в продольном подпространстве:

(φγ˜ )µ Πσ = −σγµγ5Πσ.

Легко показать, что свертка двух γ -матриц, между которыми находится любое нечетное число γ -матриц, обращается в нуль.

Отметим также следующее соотношение для γ-матриц в -подпро-

Это свойство, так же как и свойства (2.15), позволяет эффективно снизить количество γ-матриц при вычислениях шпуров.

Отличительная особенность приведенной техники состоит в том, что она не только позволяет упростить вычисление шпуров, но и сохраняет ковариантность полученных таким способом выражений.

3.Волновая функция

Вданном разделе найдено простейшее решение уравнения Дирака для фермиона с зарядом ϱe (e > 0 – элементарный заряд, ϱ – величина заряда в единицах элементарного вместе со знаком) в постоянном однородном внешнем магнитном поле.

Уравнение Дирака для фермиона во внешнем электромагнитном поле с 4-потенциалом Aµ = Aµ(r, t) имеет вид:

Решения этого уравнения для случая постоянного однородного магнитного поля B получили свое наибольшее приложение в астрофизике. В частности, на поверхности пульсаров обнаружены достаточно сильные магнитные поля B 1013 − 1014 Гс, а согласно теоретическим моделям, в ядрах таких пульсаров напряженности полей могут быть на два-три порядка больше. В связи с этим, непосредственный

11

интерес представляют не просто точные решения уравнения Дирака

вмагнитном поле, а их асимптотика в случае экстремально больших напряженностей.

Для решения уравнения (3.1) выберем систему координат таким образом, чтобы вектор напряженности магнитного поля B был направлен по оси Oz, а векторный потенциал A – по оси Oy. В такой калибровке 4-потенциал внешнего магнитного поля можно представить

ввиде:

Для решения поставленной задачи удобно ввести функцию Φ(r, t),

при этом точное решение уравнения (3.1) связано с функцией Φ(r, t) соотношением:

Найдем явный вид функции Φ(r, t). Используя известное свойство произведения двух γ-матриц – γµγν = gµν + σµν, где gµν – метрический тензор и σµν = [γµ, γν]/2, а также условие Лоренца для 4-потенциала – ∂µAµ = 0, квадрированное уравнение (3.3) приводится к виду:

где Fµν – тензор внешнего магнитного поля, и (σF ) = σµνF νµ. Можно показать, что (σF ) = −2iBΣ3, где Σ3 – проекция релятивистского оператора спина фермиона на ось Oz. Будем считать, что функция Φ(r, t) является собственной функцией оператора Σ3:

где собственное значение s имеет смысл удвоенного среднего значения проекции спина фермиона. Тогда оператор в квадрированном уравнении (3.5) становится пропорциональным единичной матрице пространства Дирака, что позволяет фактически перейти от матричного к скалярному уравнению. Принимая во внимание явный вид 4-потенциа- ла (3.2), распишем явно квадрированное уравнение (3.5) в выбранной

12

где – оператор Лапласа. Оператор уравнения (3.7) не зависит явно от времени, поэтому функция Φ(r, t) является стационарным решением этого уравнения и описывает квантовую частицу с сохраняющимся значением энергии En. Поскольку приведенное уравнение (3.7) имеет явную зависимость только от переменной x, то оператор этого уравнения будет коммутировать с операторами ∂/∂y и ∂/∂z. Эти дифференциальные операторы определены в лоренцевском 4-пространстве- времени, поэтому они также будут коммутировать и с оператором Σ3, являющимся постоянной величиной в этом пространстве. Исходя из вышесказанного, будем искать положительно частотное решение уравнения (3.7) в виде:

с собственными значениями p2, p3 и s соответственно. Будем также считать, что биспинор us является решением уравнения (3.6).

Подставляя решение (3.8) в уравнение (3.5) и вводя вместо x новую

Полученное уравнение по виду совпадает с уравнением Шредингера для одномерного гармонического осциллятора. Из нерелятивистской квантовой механики известно, что собственные функции такого уравнения обращаются в нуль при η → ∞, когда собственные значения пропорциональны положительным целым нечетным числам:

где ν = 0, 1, . . . – целое неотрицательное число. Собственные функции, соответствующие этим собственным значениям, имеют вид:

13

где Hν(η) – полиномы Эрмита, а N – нормировочный множитель. В итоге точные решения квадрированного уравнения Дирака и соответствующий им спектр энергии можно записать в виде:

где введены главное квантовое число n, нумерующее энергетические уровни заряженного фермиона в магнитном поле (уровни Ландау) и принимающее целые неотрицательные значения, и знак заряда фермиона ρ = ϱ/|ϱ|. Из выражения для энергии (3.14) следует, что спектр энергии фермиона имеет двукратное вырождение по квантовому числу s при n ≥ 1 и бесконечнократное вырождение по числу p2, если оно непрерывно.

Воспользуемся уравнением (3.4), чтобы по функции Φ(+)nsp2p3 (r, t) восстановить функцию Ψ(+)nsp2p3 (r, t) – точное решение уравнения Дирака

из (3.13), что дает следующее выражение для функции Ψ(+)nsp2p3 (r, t):

Следует напомнить, что уравнение по переменной η (3.10) формально совпадает с уравнением Шредингера для гармонического осциллятора. Поэтому, по аналогии с квантовым осциллятором, удобно ввести повышающий a+ и понижающий a− операторы:

()

Напомним действие операторов a± на волновую функцию осциллято-

Если также ввести следующие линейные комбинации γ-матриц:

()

14

где σi, i = 1, 2, 3 – матрицы Паули, то функция Ψ(+)nsp2p3 (r, t) приводится к виду:

При таком подходе остается произвол в выборе постоянного биспинора us. Зафиксируем этот произвол, потребовав, чтобы слагаемоеa+ в формуле (3.19) обратилось в нуль. Выберем биспинор вида:

который является собственной функцией оператора проекции спина Σ3, а также удовлетворяет уравнению:

Из этого уравнения следует, что слагаемое, пропорциональное повышающему оператору, обращается в нуль, если s = ρ. Поэтому при таком выборе биспинора точное решение уравнения Дирака в постоянном однородном магнитном поле может быть приведено к виду:

где интегрирование проводится по объему бесконечного (вдоль оси Ox) цилиндра с поперечным сечением в виде прямоугольника со сторонами Ly и Lz. Приведем сразу результат этого достаточно громоздкого

но частотного заменами: En → −En, pi → −pi (i = 2, 3), а также u(+)(p3) → u(−)(p3). В заключение выпишем окончательный результат для положительно и отрицательно частотных решений уравнения

15