Материал: Нейтринные процессы во внешнем магнитном поле в технике матрицы плотности (90

Дирака заряженного фермиона во внешнем постоянном однородном магнитном поле:

√

где En = p23 + m2 + 2eBn – энергия частицы, индекс n=ν +(1−ϱs)/2 (ν = 0, 1, 2 . . . ) нумерует уровни Ландау частицы, xµ= (t, x, y, z), а Ly, Lz – нормировочные длины вдоль осей Oy и Oz. Здесь также введены функции одномерного гармонического осциллятора:

√

где η = eB(x − ϱp2/eB), а Hk(η) – полиномы Эрмита, и биспиноры в следующем виде:

Каждый из определенных биспиноров непосредственно не имеет стандартной нормировки, однако такой нормировкой обладает их комбинация:

где Ws, Vs – сопряженные по Дираку биспиноры. Отметим, что биспиноры Ws, Vs не ортогональны друг к другу.

Решение уравнения Дирака с отрицательной энергией может быть получено из выражения (3.25) формальной заменой:

En → −En, p2 → −p2, p3 → −p3,

16

что в биспиноре Un,p(+)2,p3,s(η) эквивалентно заменам

m → −m, Vs → −Vs.

Таким образом, отрицательно частотное решение может быть пред-

подразумевается, что знак заряда для решения с отрицательной энергией тот же, что и для решения с положительной.

Для описания спиновых свойств заряженной частицы, как будет показано ниже, удобно воспользоваться проекций оператора магнитной

кинематического импульса,

()

Положительно частотное решение, являющееся собственной функцией оператора µˆ3 может быть представлено в виде (3.25), где под биспинорами Ws и Vs следует понимать следующие [7]:

17

4.Матрица плотности заряженной частицы в постоянном однородном магнитном поле

Вданном разделе мы получим импульсное представление матрицы плотности частицы заряда ϱe, массы m в постоянном однородном магнитном поле. Покажем, что, просуммированное по поляризациям

и уровням Ландау, оно в пределе слабого поля B → 0 переходит в

b

известное выражение P ±mI, соответствующие положительно и отрицательно частотному решению уравнения Дирака в вакууме.

Чтобы получить матрицу плотности заряженной частицы в однородном магнитном поле, рассмотрим следующий интеграл:

рования по переменной p2 к интегрированию по η. Выделив трансляционно неинвариантную фазу Φ(x, x′)= eB(x + x′)(y −y′)/2, получим:

√

e

Прямое и обратное Фурье преобразования функции F (ξ1, ξ2) удобно

18

выбрать в виде:

−∞

Так как интерес представляет не сам интеграл (4.1), а его подынтегральная функция, то для нее получим:

Таким образом, можно определить матрицу плотности ρ(+)n (p) дираковской частицы в импульсном представлении в следующем виде:

19

[[ ] [ ]

× Vϱ V ϱ χn(η) χn(η + b) − W−ϱ W −ϱ χn−1(η) χn−1(η + b) +

]

[ ] [ ]

+ W−ϱ V ϱ χn−1(η) χn(η + b) − Vϱ W −ϱ χn(η) χn−1(η + b) ,

√√

где a=2p1/ eB, b=2ϱp2/ eB, и было использовано следующее свойство функций Эрмита: χn(−η) = (−1)n χn(η). В общем случае интегралы такого типа сводятся к обобщенным полиномам Лагерра:

а именно,

∫∞

e−iaη χn(η) χm(η + b) dη =

−∞

= (−1)n−m √eB 2 m−n m!/n! (b + ia)n−m e(iab−c2)/2 Lnm−m(c2) ,(4.14)

где n≥m и c2=(a2 + b2)/2. Поскольку в (4.11) и (4.12) функции χn(η) входят с индексами, различающимися не более чем на единицу, то более удобным оказывается использование следующих соотношений:

20