Материал: Нейтринные процессы во внешнем магнитном поле в технике матрицы плотности (90

где γ5 = −iγ0γ1γ2γ3 и V = LxLyLz — нормировочный объем. В нерелятивистском пределе матрица плотности поляризованной электронейтральной частицы имеет вид:

не меняющийся и при учете магнитного момента частицы, например нейтрона. Однако в этом случае энергия частицы явно зависит от ее поляризации и определяется выражением:

где g — магнитный момент нейтрона в ядерных магнетонах.

5.Слабые одновершинные процессы

Вэтом разделе будет показано, как работает формализм матрицы плотности на следующих примерах: процессы рассеяния нейтрино на электронах (1.5) и нуклонах (1.6), а также прямой URCA-процесс (1.1). S-матричные элементы и их квадраты для кроссинг-симметричных процессов могут быть получены соответствующими заменами 4-им- пульсов частиц.

Внизкоэнергетическом пределе, когда переданные в реакции энергия и импульс много меньше массы W -бозона (mW 80 ГэВ), локальный эффективный лагранжиан процессов (1.5) и (1.6) может быть записан единообразно:

где GF — константа Ферми, ψ(Q)(x) — оператор электрона (нуклона), ψ(ν)(x) — оператор нейтринного поля, cv и ca — векторные и аксиальные константы эффективных нейтральных слабых токов. Отметим, что в рассматриваемом пределе значения этих констант для процесса (1.5) зависят от аромата:

26

где θW — угол Вайнберга (sin2 θW 0.23), тогда как для процессов вида (1.6) константы слабых токов зависят от типа нуклона:

В низкоэнергетическом пределе локальный эффективный лагранжиан URCA-процесса (1.1) может быть представлен в виде:

где θc — угол Кабиббо (sin θc 0.22), ψ(N)(x), ψ(p)(x), ψ(e)(x), ψ(ν)(x) — операторы нейтронного, протонного, электронного, нейтринного полей, соответственно, gv 1 и ga 1.26 — векторная и аксиальная константы заряженного нуклонного тока. S-матричные элементы процессов (1.5) и (1.6), составленные по локальному эффективному лагранжиану (5.1), могут быть записаны в виде:

волновые функции нуклона и нейтрино в начальном и конечном состояниях, и интегрирование ведется по 4-мерному нормировочному объему Ω = T LxLyLz.

S-матричный элемент процесса (1.1), соответствующий локальному

где G2 = GF gv cos θc, g = ga/gv 1.26, ψm,P(p) 2,P3,s(x) и ψm(e′),q2,q3,s′′ (x) —

волновые функции протона и электрона, ψP(N′,s)′ (x) — нейтрона, ψq(ν′ )(x) — нейтрино.

27

При использовании формализма матрицы плотности, квадраты S- матричных элементов, просуммированные по поляризациям частиц, представляются в виде:

импульсы протона, электрона, нейтрона и нейтрино. Интегрирование квадратов S-матричных элементов по x и x′ три-

виально и приводит к следующим результатам:

28

где u = 2p2 /eB, u′ = 2p′2/eB, v = 2P 2 /eB, v′ = 2q2 /eB.

При подстановке (5.9)) в Pµ (1.10) получим явно ковариантное выражение:

∫ω ω εn

×d3p′ [1 − fQ(ε′n′ )] δ(4)(p + k − p′ − k′) e−(u+u′)/2 [L(Q)L(ν)] ,

ε′n′ αβ αβ′

где fν(ω(′)) и fQ(ε(n′()′) ) — функции распределения начальных (конечных) нейтрино и заряженной частицы. Аналогичным образом, Pµ в реакции (1.1) принимает вид:

Поскольку шпур от нечетного числа γ-матриц равен нулю, то после преобразований с использованием коммутационных свойств матрицы γ5 с проекционным оператором (Πϱγ5 = γ5Πϱ) нетрудно получить

29

для шпуров, входящих в (5.12).

При использовании свойств (2.11)–(2.14), (2.16) приведенные выше громоздкие шпуры вычисляются без особых трудностей. Техника вычисления интегралов, входящих в Pµ(1) (5.11) и Pµ(2) (5.12), подробно изложена в следующем разделе.

6.Интегралы по компонентам импульсов, перпендикулярных напряженности магнитного поля

Для процессов с двумя заряженными частицами важными являются следующие интегралы по импульсам заряженных частиц в поперечном пространстве:

×δ(2)(x+y−z) d2x d2y,

где x, y и z – вектора в 2-мерном (поперечном) пространстве, индексы

α, β = 1, 2; а δ(2)(x+y−z)=δ(x1 + y1 −z1) δ(x2 + y2 −z2) – произведение

30