Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 111-115

~

1

x

y

y1

y2

cosx

e

,

а

общее

решение

этого

уравнения

2

4

~

1

x

y

y Y

cosx

e

C1e

C2xe

.

2

4

Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения:

1.y 5y 4y 0. Ответ: y C1ex C2e4x.

2.y 6y 9y 0. Ответ: y e3x(C1 C2x).

3.y 8y 25y 0. Ответ: y e 4x (C1 cos3x C2 sin x).

4.y 3y 2y 0. Ответ: y C1ex C2e2x.

5.y 4y 4y 0. Ответ: y e2x C1 C2x .

6.y 2y 2y 0. Ответ: y ex(C1 cos x C2 sin x).

7.y 4y 3y 0. Ответ: y C1ex C2e3x.

8.y 4y 0. Ответ: y C1e2x C2e 2x.

9.y 4y 0. Ответ: y C1 C2e 4x.

10.y 3y 2y 0. Ответ: y C1e 2x C2e x.

11.y 2ay a2y 0. Ответ: y (C1x C2)e ax.

12.y 2y 5y 0. Ответ: y e x(C1 cos2x C 2 sin2x)

13.y y 0. Ответ: y C1ex C2e x.

14.y y 0. Ответ: y C1cosx C2 sin x.

15.

y 2y y e

x

.

Ответ:

y (C1x C2)e

x

1

e

x

.

4

16.

y 3y 2y ex.

Ответ:

y C1e2x (C2

x)ex.

17.

y y 2y 6x2.

Ответ:

y C ex

C e 2x

3(x2

x 1.5).

1

2

3

18.

y 3y 9x.

Ответ:

y C1 C2e

3x

x

2

x.

2

19.y 2y xe x. Ответ: y C1ex2 C2e x2 (x 2)e x.

20.y 4y 8x3. Ответ: y C1e2x C2e 2x 2x3 3x.

21.	y 5y 6y 13sin3x. Ответ:	y C1e2x C2e3x						1	5cos3x sin3x .

						3x	6			3x
22.	y y 2,5y 25cos2x. Ответ:	y e x	/2
				C	cos		C sin				6cos2x 8sin2x.

				1	2		2			2
		110

23.

y 4y 3sin 2x.

Ответ: y C1 cos2x C2 sin2x

3

xcos2x.

4

24.

y 4y sin 2x.

Ответ: y C1cos2x C2 sin2x

1

xcosx2x.

1

4

1

25.

y y xcosx.

Ответ: y C1cosx C2 sinx

xcosx

x

2

sinx.

4

26. y 2y 3y e x cos x.

Ответ: y ex(C 1cos

x C2 sin

x)

e x

(5cosx 4sin x).

2

41

5x

2x

2

9

27.

Ответ: y C1e

C2e

sin x

cosx.

y 3y 10y sinx 3cosx.

13

1

39

3x

2

x

2x

3x

28. y 3y 2y e

(x

x).

Ответ: y C1e

C2e

e

(C1 cosx C2 sin x).

2

29.y 2y 2y ex(2cosx 4xsinx). Ответ: y ex(C1cosx C2 sinx) x2ex cosx.

30.y 4y ex ( 4x 4)cosx (2x 6)sinx .

31.y y x 2ex.

32.y 2y y 3ex x 1.

33.y 6y 8y ex e2x.

34.y 4y x e 4x.

Ответ: y C1e2x C2e 2x ex(xcosx sin x).

Ответ: y C

cosx C

2

sinx x ex.

1

3

x

2

x

Ответ:

y

e

x

x 3 e

(C1x C2).

2

1

x

1

2x

4x

Ответ:

y

e

xe

C1e

C2e

.

2

3

x2

x

Ответ:

y e 4x C

C

2

.

4

8

16

1

	y 4y e2x 3e 2x.						x													3
35.				Ответ:	y e2x C					e 2x C													x .
35.				Ответ:	y e2x C		4			e 2x C										4			x .
					1		4											2		4
	y 9y 4sin3x x.											2													x
36.				Ответ: y C sin3x C											x cos3x											.
36.				Ответ: y C sin3x C											x cos3x											.
					1					2		3												9
	y 3y x	3	2.	Ответ: y C1 C2e			3x				x4						x	3		x2				20			x.
37.
37.											12					9				9
											12			x		9				9				27
38.	y 3y 1.			Ответ:	y C1 C2e			3x						x		.
38.	y 3y 1.			Ответ:	y C1 C2e								3			.
						x2							3
						x2																x
39.	y y xcosx.			Ответ:	y C				sinx C															cosx.
39.	y y xcosx.			Ответ:	y C	4			sinx C												4			cosx.
					1	4													2		4

40.	y y xe	x	.	Ответ:	y C1 C2e				x			e			x x					3
																							.
																		2		4			.
																		2		4

111

5. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

5.1.Нормальные системы дифференциальных уравнений

1.Понятие о нормальной системе. Линейные системы. Автономные системы

Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений содержит n неизвестных функций одного переменного и состоит из n уравнений первого порядка, каждое из которых содержит производную только одной из функций и разрешено относительно этой производной:


	dy1	f (x,y ,y			2	, ,y	n	),

dx			1	1

dy2			f2(x,y1,y2, ,yn),


dx								(5.1)

dyn fn(x,y1,y2, ,yn);dx

где y1, y2,..., yn - искомые функции от независимой переменной x, f1,..., fn -

заданные функции, зависящие от (n 1) переменных. Число уравнений, входящих в систему (5.1), называется порядком этой системы. То есть, согласно этому определению, система (5.1) есть система n- го порядка.

К нормальному виду может быть приведена система уравнений высших порядков, каждое из которых разрешено относительно старшей производной. Для этого должны быть введены дополнительные функции, как в рассмотренном ниже примере.

	Уравнение движения материальной точки массы m под действием силы
	dr

Fимеет вид:

dt,rt,

d2

r

dr

m

F t,r,

,

(5.2)

dt2

dt

dr

где

- время,

v

- скорость

r

x(t)i

y(t)j z(t)k радиус - вектор точки, t

2

dt

точки,

d

r

a

- ускорение. Записанное уравнение выражает второй закон

dt2

Ньютона.

Спроектируем

действующую

на точку

силу на оси декартово

системы координат:

112

dr

F t,r,

f1

t,r,

i

f2

t,r,

j

f3

t,r,

k.

dt

Подставив разложения r и F в уравнение (5.2), приравняв проекции на координатные оси. Получим систему трех уравнений:

	d2x
m			f1(t,x, y,z,x,y,z),
m	dt2		f1(t,x, y,z,x,y,z),
	dt2
	d2y
	d2y
m			f2(t,x, y,z,x, y,z),	(5.3)
m	dt	2	f2(t,x, y,z,x, y,z),	(5.3)
	dt
	d2z
	d2z		f3(t,x,y,z,x, y,z),
m		2	f3(t,x,y,z,x, y,z),
	dt	2
	dt

где точка над буквой обозначает производную по t. Каждое из уравнений системы (5.3) является дифференциальным уравнением второго порядка. Для

приведения системы к нормальному виду введем функции u x,

v y ,

w z - проекции

скорости

dr

на координатные

оси. Получим

систему

dt

уравнений вида

x u,

y v,

z w,

f1(t,x, y,z,u,v,w),

mu

f2(t,x, y,z,u,v,w),

mv

f3(t,x, y,z,u,v,w).

mw

При этом

обычно задаются

начальное положение

точки

r

(t0)

r0 x0, y0,z0 и начальная скорость

dr

(t0)

r0

u0,v0,w0 .

dt

Подобным образом и одному дифференциальному уравнению высшего порядка можно сопоставить систему дифференциальных уравнений первого порядка.

Система уравнений (5.1) называется линейной системой дифференциальных уравнений, если правые части зависят линейно от некоторых функций y1, y2, , yn :

113

dy1

a

(x)y a (x)y

2

a

(x)y

n

f (x),

dx

11

1

12

1n

1

dy2

a21(x)y1

a22

(x)y2 a2n(x)yn f2(x),

dx

(5.4)

dyn

a

n1

(x)y a

n2

(x)y

2

a

nn

(x)y

n

f

(x),

1

n

dx

где aij (x) и fi (x)

(i, j 1,2, ,n)

- заданные функции от x.

Если правые части системы (5.1) не зависят явно от независимой

переменной x, т.е. если система имеет вид

dy1

f

(y , y

, , y

),

dx

1

2

n

dy2

f2

(y1, y2, , yn),

dx

(5.5)

dyn

f

(y , y

, , y

),

dx

n

1

2

n

то она называется автономной или стационарной системой. Если в линейной системе (5.4) f1(x) f2(x) fn(x) 0, то имеем линейную автономную систему.

2. Решение системы. Геометрическое и механическое истолкования нормальной системы.

Совокупность n функций y 1(x), , y n (x), определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a,b), называется решением системы (5.1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы в тождества:

1(x) f1(x, 1(x), 2(x), , n(x)),

	(x) f		(x, (x),			(x), ,		(x)),
	(x) f	2	(x, (x),		2	(x), ,	n	(x)),
2		2		1	2		n


	(x) f		(x, (x),			(x), ,		(x)),
	(x) f	n	(x, (x),		2	(x), ,	n	(x)),
n		n		1	2		n
справедливые при всех значениях x				из интервала (a,b).
Пример. Система уравнений
		dy		7y 6z,


		dx

		dz		6y 7z,
				6y 7z,
		dx

114

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: