Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 106-110

Пример 3. Найти общее решение уравнения y 4y 13y 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k2 4k 13 0; его корни k1 2 i3, k2 2 i3 комплексные. Соответствующие частные решения

уравнения y1 e2x cos3x, y2 e2x sin3x. Общее решение уравнения имеет вид

ye2x(C1cos3x C2 sin3x).

2.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка

y py qy f (x),

(4.14)

где р и q действительные числа; f (x) непрерывная функция.

Как известно, общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы находить умеем, поэтому остается рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Для нахождения частного решения можно применять метод вариации произвольных постоянных. Однако если в правой части уравнения (4.14) многочлен, либо показательная функция, либо тригонометрическая функция sin x или cos x, либо линейная комбинация перечисленных функций, то частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегрирования.

Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (4.14).

1. Правая часть имеет вид f (x) Pn(x),

где

P (x) a

0

xn a xn 1

... a

n 1

x a

n

многочлен степени п.

n

1

~

r

Тогда частное решение

~

Qn(x)x

, где Qn(x)

y можно искать в виде y

многочлен той же степени, что

и Pn(x), а r число корней

характеристического уравнения, равных нулю.

Пример 4. Найти общее решение уравнения

y 2y y x 1.

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения

имеет вид Y (C

C

2

x)ex (см. пример

2). Так как правая часть уравнения

1

многочлен первой степени и ни один из корней характеристического уравнения

k2 2k 1 0

не

равен нулю

(k

2

k

1),

то

частное

решение

ищем

в виде

~

0

1

Ax B,

где

А

и

В

неизвестные

коэффициенты.

y (Ax B)x

Дифференцируя

дважды

~

и

подставляя

~ ~

и

~

данное

y Ax B

y, y

y в

уравнение, найдем

2A Ax B x 1.

105

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях

равенства:

A 1, 2A B 1,

находим: A 1, B 3.

Итак,

частное решение

данного

уравнения имеет

вид

~

а

его

общее

решение

y x 3,

y (C C

2

x)ex (x 3).

1

f (x) e xP

2.

Правая часть имеет вид

(x),

где

P (x) многочлен

~

n

~

r

x

степени п.

Тогда частное решение

следует искать в виде

e

,

y

y Qn(x)x

где Qn(x)

многочлен той же степени, что и

Pn(x),

а r

число корней

характеристического уравнения равных . Если 0, то f (x) Pn(x), т. е. имеет место случай 1).

Пример 5. Найти общее решение уравнения
		y 4y 3y xex.
Решение.		Характеристическое уравнение k2 4k 3 0			имеет корни
k1 1, k2	3.	Значит, общее решение соответствующего			однородного
уравнения	имеет	вид Y C ex C	2	e3x. В правой части этого	уравнения
		1	2

произведение многочлена первой степени на показательную функцию e x при1. Так как среди корней характеристического уравнения имеется только один корень k1 1, то r = 1. В данном случае Pn(x) x многочлен первой степени. Поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде

~

B)xe

x

(Ax

2

Bx)e

x

.

y (Ax

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

4Ax 2A 2B x.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях

равенства:

4A 1,

2A 2B 0,

находим:

A

1

,

B

1

. Подставляя

найденные значения A и В

в

выражение для

~

4

y , получаем частное решение

~

1

2

x

данного уравнения y

(x

x)e

; общее решение имеет вид

4

1

~

x

3x

2

x

y

Y

C1e

C2e

(x

x)e

.

4

где a,

b

Правая часть имеет вид

и

3.

f (x) acos x bsin x,

известные

числа.

Тогда

частное решение

~

надо

искать

в

виде

y

~

r

, где

A и

B неизвестные коэффициенты,

a

r

y (Acos x Bsin x)x

число корней характеристического уравнения, равных

i .

Пример 6. Найти общее решение уравнения y y sin x.

Решение.

Характеристическое уравнение

k2 1 0

имеет корни

k

i,

k2 i.

1

Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения

106

Y C1cosx C2 sin x.	В	правой части	равенства		тригонометрическая
функция sinx, т.	е.	a 0, b 1,	1. Так	как	i i	корень

характеристического уравнения, то r = 1 и частное решение надо искать в виде

~y (Acosx Bsin x)x.

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

2( Asin x Bcosx) sin x,

1

B 0. Таким образом,

~

1

откуда

A

,

частное решение

y

xcosx; общее

2

решение уравнения

1

~

y

Y C1 cosx C2 sin x

xcosx.

2

Пример 7. Найти общее решение уравнения

y y sin 2x.

Решение. Данное уравнение отличается от предыдущего только тем, что

2.

Так как i i2 не является корнем характеристического уравнения, то

~

Acos2x Bsin 2x.

r 0 и частное решение следует искать в виде y

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

3Acos2x 3Bsin 2x sin 2x,

1

~

1

откуда

A 0, B

,

т.е. частное

решение

y

sin2x,

общее

решение

3

уравнения

1

~

y

y Y C1 cosx C2 sin x

sin 2x.

3

4.

Правая часть имеет вид

f (x) e x P

(x)cos x P

(x)sin x ,

n

m

где Pn(x) многочлен степени n,

а Pm(x) многочлен степени m. Тогда

частное решение следует искать в виде

~

x

r

e

x

Q1(x)cos x Q2(x)sin x ,

y

где Q1(x) и Q2(x)

многочлены степени s, s max n, m ,а r число корней

характеристического уравнения, равных i .

Пример 8. Найти общее решение уравнения

y y 3e2x cosx.

Решение. Здесь характеристическое уравнение

k2 1 0

имеет корни

k1 1, k2

1.

Общее

решение

однородного

уравнения

таково:

Y C ex

C

2

e x.

В

правой

части

уравнения

произведение многочлена

1

нулевой

степени,

показательной

и

тригонометрической функций,

так что

Pn(x) 3, Pm(x) 0,

s

= 0.

Число

i 2 i1

не

является

корнем

107

характеристического уравнения, поэтому

r = 0,

и частное решение ищем в

виде

~

2x

(Acosx Bsin x).

y e

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

(2A 4B)cosx (2B 4A)sin x 3cosx.

Приравнивая коэффициенты при cosx и sin x, находим

2A 4B 3,

4A 2B 0,

откуда

A

3

,

B

3

.

Таким

образом,

частное

решение

10

5

~

2x 3

3

а общее решение уравнения

y

e

cosx

sin x ,

10

5

~

2x

3

x

y y

Y e

cosx

sin x C e

C

2

e

.

10

5

1

Пример 9. По данным корням характеристического уравнения и правой

части f (x)

записать частное решение у линейного неоднородного уравнения:

а)

k

3 i2,

k

2

3 i2,

f (x) 8e3x sin2x;

1

б)

k

2

3,

f (x) 2xe 3x sin x;

1

f (x) ex(1 x)cos3x;

в)

k

1,

k

2

3,

1

f (x) ex(cos2x 3sin2x);

г) k

1 i2,

k

2

1 i2,

1

2x (x3 1)cos

x

.

д) k

2 i

, k

2

2 i

,

f (x) e

xsin

1

2

Решение. а) имеем:

3,

2,

Pn(x) 0, Pm(x) 8,

s 0.

Так как

число

i 3 i2

корень

характеристического

уравнения, то r = 1.

Поэтому

~

3x

Acos2x Bsin2x ;

xe

y

б)

имеем:

3,

1,

Pn(x) 0,

Pm(x) 2х,

m 1,

s 1.

Число

i 3 i

не

является

корнем

характеристического уравнения,

поэтому

r = 0. Следовательно,

~

e

3x

[(Ax B)cosx (Cx D)sin x];

y

в)

имеем:

1,

3 ,

Pn(x) 1 x,

Pm(x) 0,

n 1,

s 1.

Так как

число

i 1 i3

не является корнем характеристического уравнения, то

r = 0. Поэтому

~

x

[(Ax B)cos3x (Cx D)sin3x].

y e

г)

имеем:

1,

2 ,

Pn(x) 1,

Pm(x) 3,

s 0.

Число

i 1 i2

корень

характеристического

уравнения,

поэтому

r=1.

Следовательно,

~

x

Acos2x Bsin2x ;

y xe

д)

имеем:

2,

1

,

P (x) (x3 1),

P

(x) x,

n 3,

2

n

m

108

m 1,

s 3. Число i 2 i

1

корень характеристического уравнения,

значит, r=1. Следовательно,

2

x

~

2x

3

2

3

2

y xe

Ax

Bx

Cx D)cos

(Ex

Fx

Gx H)sin

.

2

В заключение сформулируем теорему, которую часто применяют при решении линейных неоднородных уравнений, в правой части которых сумма нескольких слагаемых.

Теорема 8. Если ~y1 решение уравнения

	~		y py qy				f1(x),			(4.15)
а	~	решение уравнения
а	y2	решение уравнения
			y py qy				f2(x),			(4.16)
то сумма			~ ~
то сумма			y1+ y2 является решением уравнения
			y py qy f1(x)+ f2(x).							(4.17)
		Пример 10. Найти общее решение уравнения
			y 2y y sin x e x.
		Решение. Характеристическое				уравнение k2 2k 1 0				имеет корни
k1 k2 1,			поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения
			Y C ex	C	2	xex ex(C C		2	x).
			1		2		1	2

Так как правая часть уравнения состоит из суммы двух функций sinx и e x, то в соответствии с теоремой 8 частное решение данного уравнения можно

искать

в

виде

~

где

~

частное

решение

уравнения

y y1

y2,

y1

~

частное решение уравнения

y 2y y e

x

.

y 2y y sin x, а y2

Сначала найдем частное решение

~

. Так как число i i

не является корнем

y1

характеристического уравнения

(r 0), то частное решение

~

будем

y1,

искать

в

виде

~

и

~

уравнение

y1 Asin x Bcosx.

Подставляя y1,

y1

y1 в

y 2y y sin x

и

сравнивая коэффициенты

при

sinx

и

cosx, получаем

2A 0,2B 1, откуда A 0, B

1

~

1

и, следовательно,

y1

cosx.

2

~

Ae

x

,

Теперь найдем частное решение y2

. Будем его искать в виде y2

так как

число

1

не

является

корнем

характеристического

уравнения.

~

x

1

Подставляя

y2

,

y2

и

y2 в уравнение

y 2y y e

, имeeм

A

.

1

4

~

x

Следовательно,

y2

e

.

4

Таким

образом,

частное

решение

данного

уравнения

имеет

вид

109

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: