Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 101-105

где y искомая функция, а p(x), q(x) и f (x) непрерывные функции на

некотором интервале (a,b), называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Если f (x) 0, то уравнение (4.1) называется линейным однородным уравнением. Если же f (x) 0, то уравнение (4.1) называется линейным неоднородным уравнением.

2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Рассмотрим некоторые свойства решений линейных однородных

уравнений.
Теорема 1. Если функции y1(x) и y2(x) решения		уравнения
y p(x)y q(x)y 0,		(4.2)
то функция y C1y1(x) C2y2(x)	при любых значениях	постоянных C1 и C2
также является решением, уравнения (4.2).
Итак, функция вида	y C1y1(x) C2y2(x)	с произвольными

постоянными C1, и C2 является решением уравнения (4.2). Естественно возникает вопрос, не является ли это решение общим решением уравнения (4.2). Покажем, что при некоторых условиях функция y C1y1(x) C2y2(x) является общим решением уравнения (4.2). Предварительно введем понятия линейной зависимости и линейной независимости функций y1(x) и y2(x).

Функции y1(x) и y2(x) называются линейно зависимыми на (а,b), если существуют такие числа 1 и 2, из которых хотя бы одно отлично от нуля,

что для любого x (a, b)

имеет место равенство

1y1(x) 2y2(x) 0.

(4.3)

Очевидно, что если функции y1(x)

и y2(x) линейно зависимы, то они

пропорциональны. Действительно, если 1y1(x) 2y2(x) 0, причем 1

0 и

y2(x) 0, то

y1(x)

2

const. Верно и обратное.

y2(x)

1

Функции y1(x) и y2(x) называются линейно независимыми на (а,b), если

не существует таких чисел

1 и 2, из которых хоть одно отлично от нуля,

что для любого x (a, b)

имеет место равенство (4.3). Другими словами,

равенство (4.3) выполняется сразу для всех x (a, b), если только 1 2

0.

Очевидно, что если функции y1(x)

и y2(x) линейно независимы,

то их

отношение

y1(x)

const,

т. е.

они не

пропорциональны. Так, например,

y2(x)

функции y (x) x2

и y

2

(x) x3

линейно независимы на любом интервале

1

100

(а,b), поскольку

y1

(x)

1

const, а

функции

y (x) 4x2

и

y

2

(x) x2

y2

(x) x

1

y1

(x)

линейно зависимы на любом промежутке, так как

4 const .

y2

(x)

Предположим теперь, что функции

y1(x) и

y2(x)являются решениями

уравнения (4.2). Вопрос о том, являются ли они линейно зависимыми или линейно независимыми, решают с помощью определителя Вронского:

	y1	y2			(4.4)
			y1y2 y2y1.		(4.4)
	y1	y2
Определитель Вронского (или вронскиан) является функцией, опре-
деленной на (а, b), и обозначается W(y1, y2) или просто W(x).
Теорема 2. Если функции y1(x) и y2(x)				линейно зависимы на (а,b), то

определитель Вронского, составленный из них, равен нулю на этом интервале. Теорема 3. Если решения y1(x) и y2(x) уравнения (4.2) линейно независимы на (а,b), то определитель Вронского, составленный из них,

отличен от нуля на этом интервале.

Итак, установлено, что если функции y1(x) и y2(x) являются на (а,b) решениями линейного однородного уравнения (4.2), то составленный из них определитель Вронского на (а,b) либо равен нулю ( y1(x) и y2(x) линейно зависимы), либо отличен от нуля ( y1(x) и y2(x) линейно независимы).

Установим теперь, при каких условиях функция y C1y1(x) C2y2(x) является общим решением линейного однородного уравнения (4.2).

Теорема 4. Если функции y1(x) и y2(x) линейно независимые на (а,b)

решения уравнения (4.2), то функция
y C1y1(x) C2y2(x)	(4.5)
где C1 и C2 произвольные постоянные, является	общим решением
уравнения (4.2).

Из этой теоремы следует, что для отыскания общего решения уравнения (4.2) достаточно найти два линейно независимых частных решения и составить выражение (4.2) с произвольными постоянными C1 и C2.

3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Рассмотрим теперь основные свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (4.1):

y p(x)y q(x)y f (x).

Имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Общее решение уравнения (4.1) есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Таким образом, чтобы найти общее решение линейного неоднородного

101

уравнения, нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения и какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения. В общем случае задача отыскания частного решения является сложной. Покажем, как можно найти частное решение неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Пусть Y C1y1(x) C2y2(x)						общее решение однородного уравнения
(4.2). Будем искать частное решение неоднородного уравнения (4.1) в виде
			y C1(x)y1(x) C2(x)y2(x),					(4.6)
рассматривая		C1 и	C2	как	некоторые искомые функции от х.			Про-
дифференцируем последнее равенство
y			(x)					(4.7)
y	C1(x)y1		(x)	С1(x)y1		(x) C2	(x)y2(x) C2(x)y2(x).	(4.7)
Подберем функции C1(x)					и C2(x) так, чтобы выполнялось равенство
			C1(x)y1(x) C2(x)y2(x) 0.					(4.8)
Тогда равенство (4.7) принимает вид
			y	С1
			y	С1	(x)y1(x) C2(x)y2(x).

Дифференцируя это равенство, найдем у":

y C1(x)y1(x) С1(x)y1(x) C2(x)y2(x) C2(x)y2(x).

Подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение (4.1) и группируя слагаемые, получаем

C1(x) y1(x) p(x)y1(x) q(x)y1(x)C2(x) y2(x) p(x)y2(x) q(x)y2(x)

C1(x)(x)y1(x) C2(x)y2(x) f (x).

Выражения в квадратных скобках равны нулю, так как y1(x) и y2(x) решения однородного уравнения. Поэтому последнее равенство принимает вид

										(4.9)
		C1	(x)y1	(x) C2	(x)y2(x) f (x).					(4.9)
Таким образом, функция (4.6) является решением уравнения (4.1), если
функции C1(x)	и C2(x)		удовлетворяют уравнениям (4.8) и (4.9). Объединяя
их, получаем систему уравнений
		С (x)y (x) C				(x)y	2	(x) 0,		(4.10)
			1	1	2		2			(4.10)
		C1(x)y1(x) C2(x)y2(x) f (x),
		(x)	неизвестны,							(x) и f (x)
в которой С1(x)	и С2	(x)	неизвестны,			а y1(x), y2(x), y1			(x), y2	(x) и f (x)

известны. Так как определителем этой системы является определитель Вронского

W(x) y1(x) y2(x), y1(x) y2(x)

составленный из линейно независимых решений y1(x) и y2(x) однородного уравнения (4.2), то он по теореме 5 не равен нулю, а значит, система (4.10)

102

имеет единственное решение относительно С1(x)		и С2(x). Решая эту
систему, получаем С1(x) 1(x),	С2(x) 2(x),	где 1(x) и 2(x)

известные функции, откуда, интегрируя, найдем C1(x) и C2(x). Подставляя

полученные выражения для C1(x)

и C2(x) в равенство (4.6), получаем искомое

частное решение уравнения (4.1).

Пример. Найти частное решение уравнения у" у = х.

Решение. Общее

решение соответствующего

однородного

уравнения

y y 0

имеет вид

Y(x) C1ex C2e x.

Поэтому

частное

решение

неоднородного уравнения будем искать в виде

~

x

C2(x)e

x

.

(4.11)

y(x) C1(x)e

Система (4.10) для нахождения С1(x)

и С2(x) в данном случае имеет вид

x

C2

(x)e

x

0,

С1(x)e

x

(x)e

x.

C1(x)e

C2

Складывая эти уравнения, найдем

С1(x)

1

xe

x

. Отсюда, интегрируя,

2

1

получаем

С (x)

(x 1)e x.

1

2

Произвольную

постоянную

не

пишем,

так

как

ищем какое-нибудь

частное решение. Подставляя выражение С1(x) в первое из уравнений системы,

найдем С2(x)

1

xe

x

, откуда,

интегрируя, получаем

С2

(x)

1

(x 1)e

x

.

2

Подставляя найденные выражения C1(x) и

C2(x)

в равенство (4.11),

~

получаем частное решение y данного неоднородного уравнения:

~

1

x

1

x

y

(x 1)e

e

(x 1)e

e

x.

2

Заметим, что, найдя частное решение неоднородного уравнения и зная общее решение соответствующего однородного уравнения, на основании теоремы 5 можно записать общее решение данного неоднородного уравнения:

~	x	C2e	x	,
y y(x) Y(x) x C1e		C2e		,
где C1 и C2 произвольные постоянные.

4.2.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

спостоянными коэффициентами

Рассмотрим важный частный случай линейных дифференциальных уравнений второго порядка случай, когда функции р(х) и q(x) являются постоянными величинами. Такие уравнения называются линейными

103

уравнениями с постоянными коэффициентами.

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка

y py qy 0,			(4.12)
где р и q действительные числа.
Теорема 6. 1) если число k действительный корень уравнения
k2 pk q 0,			(4.13)
то функция y ekx является решением уравнения (4.12).
2) если числа k1 i	и k2 i	( 0)	комплексные корни
уравнения (4.13), то функции	y1 e x cos x	и y2	e x sin x являются
решениями уравнения (4.12).

Уравнение (4.13) называется характеристическим уравнением данного уравнения (4.12).

Характеристическое уравнение (4.13) является квадратным уравнением и, следовательно, имеет два корня. Обозначим их k1 и k2.

Теорема 7. 1) если корни характеристического уравнения действительные и различные (k1 k2), то общее решение уравнения (4.12)

имеет вид y C ek1x

C

2

ek2x;

1

2) если корни характеристического уравнения действительные и равные

(k =k

2

), то общее решение имеет вид

y C ek1x

C

2

xek1x;

1

3) если корни характеристического уравнения комплексные (k1 i ,

k2 i , 0), то общее решение имеет вид

y e x(C1cos x C2 sin x).

Пример 1. Найти общее решение уравнения

y y 2y 0.

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид k2 k 2 0;

его

корни

k1= 1, k2= 2 действительные и различные. Соответствующие частные

решения уравнения

y

ex ,

y

e 2x.

Общее решение уравнения имеет вид

y C ex C

e 2x.

1

2

1

Пример 2. Найти общее решение уравнения

y 2y y 0.

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид k2 2k 1 0;

его

корни

k1 k2

1

действительные и

равные.

Соответствующие частные

решения уравнения

y

ex ,

y

2

xex.

Общее решение уравнения имеет вид

1

y C ex C

2

xex ex

(C C

2

x).

1

104

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: