Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 126-130

2. Нормальная система линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

В случае линейной системы с постоянными коэффициентами процедуру исключения неизвестных можно выполнить с большим изяществом. Идея реализуемого ниже метода та же, что и при исключении неизвестных из линейной системы алгебраических уравнений, решаемых методом Крамера. Покажем это на примере системы трех линейных дифференциальных уравнений. Обобщение на случай n уравнений производится автоматически.

Пусть задана нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами aij

dy1

a

y a y

2

a y

3

f

1

(x),

11

1

12

13

dx

dy

2

a21y1 a22 y2

a23y3 f2

(x),

(5.15)

dx

dy3

a

31

y a

32

y

2

a

33

y

3

f

3

(x),

1

dx

где fk (x) (k 1,2,3)

-

дважды непрерывно дифференци-руемые функции,

заданные на (a,b). Запишем систему (5.15) в виде:

d

a

y a y

2

a y

3

f

1

(x),

11

dx

1

12

13

d

a21y1

a22

y2 a23y3

f2(x),

(5.16)

dx

d

a

y a

y

a

y

f

(x).

31

1

32

2

33

dx

3

Эта система формально аналогична системе линейных неоднородных алгебраических уравнений. Как и в методе Крамера введем главный определитель системы, который в нашем случае будет содержать элементы,

зависящие от оператора d : dx

ddx

a	d	a	a
	dx
11		12	13

a22	a22	d	a23 .		(5.17)
		dx
				d
a31	a32		a33
				dx

Правило вычисления этого детерминанта такое же, как и для определителя с числовыми элементами. Отличие заключается в том, что при

125

	d d			d d		d2
”умножении”			получается символ 2-ой производной				.
	dx	dx		dx	dx	dx2

Таким образом введенный определитель содержит символы производной первого, второго и третьего порядков. Как и для обычного числового определителя для операторного определителя справедлива теорема разложения по элемента какого – либо ряда. Этим свойством мы сейчас и воспользуемся.

Для исключения функций y2 и y3 из уравнений (5.16) умножим обе части первого из них слева на A11, второго уравнения - на A21 и третьего – на

A31, где обозначили Aij - алгебраическое дополнение соответствующего элемента определителя (5.17)

d

a

22

d

a

23

d

a

A

dx

A

12

d

,

a32

11

dx

a32

a33

21

dx

a12

a13

A

d

,

31

dx

a22

a23

dx

затем сложим эти уравнения. Получим:

d

A

a

11

A

21

a

21

A

31

a

31

y

1

11

dx

d

A a

12

A

21

a

22

A

31

a

y

2

11

dx

32

a13

a33 d , dx

(5.18)

(5.17)

																									d
	A a	13		A	21		a	23				A			31			a			33						y	3	(A f				1	A		21	f	2	A		31		f	3	).
	A a			A			a					A						a									y		(A f					A			f		A				f		).
	11																															11
																								dx
Поскольку							d																					d
							d																					d
	A		a								A a								A a											,
	A		a								A a								A a											,
		11	11			dx								21			21					31		31			dx
																d
	A a			A					a										A a								0,
	A a			A					a										A a								0,
		11	12				21					22				dx						31			32
																							d
	A a			A a									A					a								0,			A f			A f			A f							,
	A a			A a									A					a								0,			A f			A f			A f							,
		11	13				21			23					31					33			dx						11		1	21		2		31		3		1

где введена функция

126

f1

a12

d

a13

1

f2

a22

a

23

,

(5.19)

dx

d

f3

a32

a33

dx

то уравнение (5.18) можно записать в виде:

d

y

1.

(5.20)

dx

1

Полученное уравнение

для

функции

y1

является линейным

неоднородным дифференциальным уравнением третьего порядка с

постоянными коэффициентами.

Интегрируя это уравнение одним из методов,

изложенным в гл. 4, найдем

функцию y1. Функции y2

и y3 можно

определить из системы алгебраических уравнений

a12y2 a13y3 y1 f1,

(a12a22 a13a32)y2 (a12a23

a13a33)y3

(5.21)

d

a

y

(a a

a

)y f a f

a f

.

dx

11

1

12

21

13

31

1 1

12

2

13

3

Первое уравнение системы (5.21) есть первое уравнение

в (5.14). Второе

уравнение получается дифференцированием этого уравнения, с последующим исключением производных y2 и y3, выражения для которых берутся из второго и третьего уравнений системы (5.15).

При решении системы двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами удобнее использовать метод исключения в виде, изложенном

в п.5.1 этого параграфа.

Пример.

Решить систему уравнений

dy

3y 2z,

dx

dz

2y z.

dx

d

2z

dy

dz

Решение.

Дифференцируем

второе уравнение:

2

.

dx

dx2

dx

Подставим в это уравнение y из первого уравнения и y - из второго:

y 3y 2z,

y

1

(z z).

2

В результате исключения неизвестной функции y из одного уравнения пришли к следующим уравнениям

127

d2z		dz		1	dz
	2		z 0,	y		z .
dx2		dx
				2	dx

Первое из уравнений является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его

решение (см. гл. 4) ищем в виде z ekx . Подставляя эту функцию в уравнение,

получим:	k	2 2k 1 0, k	k	2	1.	Характеристическое уравнение имеет
		1		2

кратный корень. В этом случае линейно независимые частные решения имеют вид z1 ex, z2 xex. Следовательно, общее решение первого уравнения

записывается так: z ex(C1 xC2). Подставим эту функцию во второе уравнение, получим:

z1ex(2C1 C2 2C2x) . 2

Задачи для самостоятельного решения

Решить системы уравнений

												y C ex			C				2		e x				1				cosx,
												y C ex			C						e x								cosx,
	y y2			sinx,		z	y	.					1													2
1.							y				Ответ:															2
1.											Ответ:																	1
							2z					z2 C ex C									2		e x					1				sin x.
							2z					z2 C ex C											e x									sin x.
													1															2
																												2
													y C ex											C			2			e x				,
													1						1								2
2.	y y		,	y y , y			y		y		y .	Ответ:	y	2	C ex									C				2			e x			,
2.	y y	2	,	y y , y			y		y	2	y .	Ответ:		2						1								2
	1	2		2	1	3	1			2	3		y		C							ex		2C xex.
													y	3	C							ex		2C xex.
														3						3											1
												y (C C								2		x)ex,
3.	y 2y z,				z y.						Ответ:			1						2
3.	y 2y z,				z y.						Ответ:						x C C																).
												z ex (C				2	x C C															2	).
																2								1								2
												y eax(C cosx C														2			sin x),
4.	y ay z,				z y az.						Ответ:				1											2
4.	y ay z,				z y az.						Ответ:							sin x C														cosx).
												z eax( C						sin x C										2				cosx).
																1												2

5.4.Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений

Вп. 5.1 дано определение нормальной линейной системы дифференциальных уравнений и приведен вид системы (5.4). В дальнейшем уравнения (5.4) будем записывать в сокращенном виде:

dyi	n
	aij(x)yj fi(x),	(i 1,2,...,n)	(5.22)
dx
	j 1

или в векторной (матричной) форме

128

dY

A(x)Y F(x),

(5.23)

dx

где Y и F n- мерные векторы, A - матрица коэффициентов системы

a (x)

a

n1

(x)

11

12

a

A

a

(x) a

(x)

21

22

1n

,

an2(x)

ann

an1(x)

(x)

Y colon(y1, y2,...., yn),

F colon( f1, f2,...., fn) , где символ “colon” - обозначает

матрицу-столбец.

Используя правило умножения матриц и определение равенства матриц легко убедиться в том, что уравнение (5.23) равносильно системе уравнений

(5.22).

Если все функции aij (x) и fi(x) в (5.22) непрерывны					на	отрезке
a x b,	то в достаточно малой окрестности каждой точки M	0	(x	0	, y(0)	,..., y(0)) ,
		0		0	1	n
где a x0	b , выполнены условия теоремы существования и единственности

(см. п. 5.2). Следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (5.23). Это вытекает из того, что правые части системы (5.23) непрерывны, а их частные производные по любому yj

ограничены, т.к. эти производные равны непрерывным на [a,b]

коэффициентам aij(x).
Если	все функции	fi(x) 0				(i 1,2,...,n),			т.е. F(x) colon(0,0,...,0), то
система
			dyi				n
			dyi			aij (x)yi			(5.24)
				dx		aij (x)yi			(5.24)
							j 1
называется	линейной однородной. В векторной								записи линейная однородная
система имеет вид
				dY	A(x)Y.				(5.25)
					A(x)Y.				(5.25)
				dx
Для изучения свойств линейных систем дифференциальных уравнений
введем линейный оператор							d
				L			d	A.	(5.26)
				L				A.	(5.26)
							dx
Тогда однородное уравнение (5.26) можно записать в виде
				L[Y] ,					(5.27)
где colon(0,0,....,0) -		нулевой				вектор, а соответствующее неоднородное
						129

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: