Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 131-135

уравнение (5.23)

L[Y] F .

(5.28)

Линейность оператора L означает, что выполняются два свойства:

однородность -

L[ Y] L[Y], где

- произвольная постоянная;

аддитивность

L[Y1 Y2] L[Y1] L[Y2],

где Y1,Y2 - дифференцируемые

n-мерные векторы.

Эти свойства легко проверяются для оператора (5.26). Действительно,

d( Y)

dY

A( Y) C

AY

,

dx

d(Y Y )

dY

1 2

A(Y Y )

1

AY

2

AY

.

dx

1

2

dx

1

dx

2

Из этих свойств вытекает:

m

iL Yi , где i

- произвольные постоянные.

L iYi

i n

i 1

2. Свойства решений линейной однородной системы

Основной проблемой при решении неоднородных систем (5.22) является построение решений соответствующей однородной системы (5.24). Ниже будет показано, что интегрирование неоднородной системы сводится к интегрированию однородной. В этом разделе займемся изучением однородной системы линейных дифференциальных уравнений.

Теорема 1.	Если	Y(x)		является решением линейной однородной
системы (5.27) (или (5.25)), то					cY(x)	является решением этой системы
(c- произвольная постоянная).
Доказательство. Поскольку L[Y]						по условию, то в силу линейности
оператора L имеем: L[cY] cL[Y]
Теорема 2.	Сумма Y1 Y2			двух решений Y1			и Y2 однородной линейной
системы уравнений (5.27) является решением этой системы.
Доказательство.		Так	как		по условию		L[Y1] ,	L[Y2] , то
L[Y1 Y2] L[Y1] L[Y2] ,			где		использовано		свойство	аддитивности
оператора L.

k

С л е д с т в и е теорем 1 и 2. Линейная комбинация ciYi решений

i 1

Y1,...,Yk системы (5.27) с произвольными постоянными коэффициентами c1,...,ck является решением этой линейной однородной системы.

При решении однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка мы использовали комплексные решения для построения его

130

действительных решений. Аналогичная ситуация складывается и при решении линейных однородных систем дифференциальных уравнений. Приведенная ниже теорема позволяет отыскать действительные решения системы из известных комплексных решений.


Теорема	3.	Если	линейная		однородная система		(5.24) с
действительными		коэффициентами aij (x) имеет комплексное					решение
Y Y1 iY2, то действительная Y1				и мнимая Y2 части в отдельности
	Y1 colon(y11, y21,..., yn1),				Y2 colon(y12, y22,..., yn2)
является решениями этой системы.				L[Y1 iY2] ,
Доказательство. Поскольку						то используя линейность
оператора L,	имеем: L[Y1 iY2] L[Y1] iL[Y2] .					Так как два комплексных

выражения равны между собой тогда и только тогда, когда равны

соответственно их вещественные	и мнимые части, то видим: L[Y1] ,
L[Y2] . Таким образом, Y1 и Y2	являются решениями системы.
Пример. Дана однородная система линейных уравнений:
dy		y2,
	1

dx

dy2		y1.

dx

Нетрудно проверить, что функции y1 cosx isin x,		y2 sin x icosx
являются решением этой	системы. Проверка же показывает, что		функции
y11 cosx, y21 sin x ,	а также функции y12 sinx,	y22 cosx	являются
решениями этой системы.

Допустим, что мы нашли n частных решений однородной системы (5.24). Основной вопрос заключается в следующем: при каком условии линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными

коэффициентами c1,...,cn даст общее решение однородной системы?
Для ответа на поставленный вопрос введем понятие о линейной
независимости систем функций.
Рассмотрим m систем функций:
y11,	y12,	y1n;
	y22,	y2n;
y21,			(5.29)


	ym2,	ymn.
ym1,
Эти системы функций называются линейно независимыми в интервале

(a,b), если не существует чисел 1, 2,..., m	не равных нулю одновременно,
при которых для всего интервала (a,b)	выполнялись бы соотношения:
131

1y11 2 y21 m ym1 0,

y

0,

1

2

22

m

m2

12

(5.30)

y

0.

1

2

2n

m

mn

1n

В сокращенной и векторной формах условия (5.30) имеют

соответственно вид:

m

i yik 0, (k 1,2,...,n)

(5.31)

i 1

1Y1 2Y2 mYm ,

где, Yk colon(yk1, yk2,..., ykn).

Иными словами, система функций (5.29) является линейно независимой, если ни одна строка (5.30) не является при x (a,b) линейной комбинацией остальных строк этой системы. В противном случае системы (5.29) называются линейно зависимыми в (a,b).

В частности, две системы функций y11, y11,..., y1n и y21,y22,..., y2n будут линейно независимыми в (a,b), если не справедливо соотношение вида

y21	y22	y2n	(a x b).
		y1n
y11 y12

Из (5.30) видно, что если одна из систем функций в (5.29) состоит из функций, тождественно равных нулю в интервале (a,b), то эти системы функций линейно зависимы в (a,b).

Пример. Система функций

e

3x

,

y12 e

3x

,

y13 e

3x

;

y11

3x

2e

,

y22 2e

, y23 2e

;

y21

линейно зависимы в ( ; ). Другая система функций

	e	2x	, y12 0,			y13 e	2x		;
y11
				2x				2x
	0,		y22 e		,	y23 e				;
y21

является линейно независимой в ; .

Таким образом, если рассматривать элементы строки системы (5.29) как составляющие некоторого вектора в n- мерном пространстве (см. формулу (5.31) и ниже), то определение линейной независимости системы функций (5.29) является определением линейной независимости системы m векторов.

Рассмотрим необходимое условие линейной зависимости n систем функций

132

y11,

y12,

y1n;

y22,

y2n;

y21,

(5.32)

yn2,

ynn.

yn1,

Иными словами, рассматриваем необходимое условие линейной

зависимости системы n-мерных векторов Yk colon(yk1,yk2, ,ykn)

(k 1,2,...,n).

Введем в рассмотрение определитель Вронского (вронскиан) для

системы функций (5.32)

y11

y12

y1n

W(x)

y21

y22

y2n

.

(5.33)

yn1 yn2 ynn

Теорема 4. Если

n

систем

функций

(5.32)

линейно

зависимы в

интервале (a,b), то W(x) 0 в(a,b).

Доказательство.

Поскольку

система

функций

(5.32)

по условию

линейно зависима, то по определению линейной зависимости имеем соотношение (5.30)

n
i yik	0,	(k 1,2,...,n;	a x b),	(5.34)
i 1
где не все коэффициенты	i равны нулю.		Рассматривая систему равенств

(5.34) как однородную линейную систему алгебраических уравнений относительно 1, 2,..., n , видим, что она имеет ненулевое решение. Но из алгебры известно, что в этом случае определитель этой системы должен быть равным нулю. Определителем этой алгебраической системы уравнений является вронскиан (5.33). Так что W(x) должен обращаться в нуль во всех точках интервала (a,b).

Рассмотрим далее важное для теории линейных систем необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений однородной

линейной системы n уравнений.
Пусть каждая из	систем	функций совокупности (5.32), т. е. все
Yk colon(yk1,yk2,...,ykn)	(k 1,2,...,n), является решением системы линейных
однородных дифференциальных уравнений (5.23).
Теорема 5. Если n решений		(5.32) однородной системы (5.24) линейно

независимые в интервале (a,b), в котором определены и непрерывны коэффициенты aij (x), то их вронскиан W(x) не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала.

Доказательство. Предположим обратное: пусть W(x0) 0,	где
133

a x0 b. Составим систему алгебраических уравнений

n
ci(yik )0	0,	(k 1,2,...,n),	(5.35)
i 1

где обозначено (yik )0 yik (x0). Определитель этой системы – есть W(x0). По

нашему предположению			W(x0) 0. Поэтому система (5.35) должна иметь
ненулевое решение	c	c0,	c	2	c0	,...,c	n	c	0. Построим теперь функции
	1	1		2	2		n		n
					n
		yk (x) ci0yik ,						(k 1,2,...,n).			(5.36)
					i 1
Совокупность		этих			функций				является	решением	системы
дифференциальных		уравнений				(5.24),			поскольку	является	линейной

комбинацией решений (см. следствие теорем 1 и 2). Поскольку все ci0 удовлетворяют алгебраической системе уравнений (5.35), то ясно, что решение (5.36) имеет нулевые начальные значения в точке x x0:


y1 0,	y2 0,..., yn 0 при		x x0.
Но тогда решение (5.36) будет являться нулевым
y1(x) 0,		y2(x) 0,..., yn(x) 0

в силу единственности решения задачи Коши. Поэтому получается тождества

n
ci0yik (x) 0	(k 1,2,...,n),	a x b,
i 1

где не все ci0 равны нулю. Это означает, что решения (5.32) линейно зависимы в интервале (a,b). Но это противоречит условию теоремы. Следовательно, вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке.

Таким образом, из доказанных теорем 4 и 5 следует: для того, чтобы n

решений системы линейных однородных уравнений (5.24) были линейно независимы в интервале (a,b), необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан не обращался в нуль ни в одной точке этого интервала.

Для установления линейной независимости n решений системы (5.24) достаточно убедиться в том, что W(x) отличен от нуля хотя бы в одной точке

(a,b).

Введем понятие фундаментальной системы решений	линейной
однородной системы n дифференциальных уравнений.
Совокупность n решений Yk (x) colon(yk1, yk2,...,ykn)	(k 1,2,...,n)

однородной системы (5.24), определенных и линейно независимых в интервале

(a,b) называется фундаментальной системой решений в этом интервале.

Из необходимого и достаточного условия линейной независимости n

134

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: