Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

решений однородной линейной системы n дифференциальных уравнений,

приведенного выше, следует: система n решений будет фундаментальной системой решений в интервале (a,b) тогда и только тогда, когда определитель Вронского этих решений не равен нулю хотя бы в одной точке интервала (a,b).

Матрица вида

столбцы которой сформированы из координатных функций линейно

где производная матрицы равна по определению матрице, элементы которой являются производными от соответствующих элементов исходной матрицы.

Отметим: правило дифференцирования суммы и произведения сохраняются и для матриц; однако при дифференцировании произведения

Общее решение однородной линейной системы дифференциальных уравнений.

Как и в случае однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка, знание фундаментальной системы решений позволяет построить

общее решение однородной линейной системы дифференциальных уравнений.

является фундаментальной системой решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений (5.24) в интервале (a,b), то функции

135

y1(x) C1y11 C2 y21 Cn yn1,

y2(x) C1y21 C2 y22 Cn yn2,

(где C1,C2,...,Cn произвольные постоянные) дают общее решение системы (5.24) в области

является фундаментальной системой решений в интервале (a,b) однородного

представляет собой линейную комбинацию решений системы.

Система (5.40) представляет собой линейную алгебраическую систему уравнений относительно C1,C2,...,Cn. Ее определителем является вронскиан W(x) (5.33), который не равен нулю при любых x (a,b), так как совокупность функций (5.39) является по условию фундаментальной системой решений.

В соответствии с определением общего решения нормальной системой дифференциальных уравнений, учитывая вышеприведенные рассуждения, можно сделать вывод: совокупность функций (5.40) является общим решением системы (5.24) в области изменения переменных (5.42).

Покажем, что формула (5.40) содержит все решения системы (5.24). Для этого следует доказать, что при любых начальных условиях, наложенных на

таких, что полученное частное решение системы (5.24) с начальными

где (yij )0 yij (x0). Полученная система линейных неоднородных уравнений относительно неизвестных C1,C2,...,Cn имеет единственное решение, поскольку ее определитель равен W(x0) - вронскиану фундаментальной системы функций

(5.39) при x x0, которой отличен от нуля. Поэтому

C1 C1(0)(x0, y1(0),...,yn(0)),C2 C2(0)(x0, y1(0),...,yn(0)),...,

Cn Cn(0)(x0, y1(0),...,yn(0)).

(5.45)

Подставляя эти значения постоянных в общее решение (5.44) найдем решение задачи Коши (5.24), (5.43).

Таким образом, чтобы линейная комбинация n решений однородной линейной системы (5.24) с произвольными постоянными C1,C2,...,Cn давала общее решение этой системы, необходимо и достаточно, чтобы эти решения были линейно независимы, т.е. чтобы они составляли фундаментальную систему решений.

З а м е ч а н и е. Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений можно выразить через фундаментальную матрицу (5.37). Формулу (5.44) можно записать в виде

Полученная формула дает решение начальной задачи (5.24), (5.43), т.е. решение задачи Коши для линейной однородной системы дифференциальных уравнений.

Матрица

называется матрицей Коши. Используются также другие названия этой

137

матрицы – импульсная матрица, а также матрицант.

Таким образом решение задачи Коши (5.24), (5.43) можно записать с помощью этой матрицы в виде

Пример. Найти общее решение линейной однородной системы

Решение. Из вида системы ясно, что одно из его решений представляет собой многочлен. Поскольку в правой части уравнений системы коэффициент при функции имеет степень на единицу большую, чем коэффициент при y(x), то частное решение ищем в виде

Уравнения удовлетворяются, если b1 a2 0, a1 b2 c1.

Полагая a1 b2 c1 1, находим одно решение системы:

Таким образом, общее решение системы имеет вид

138

y C1y1 C2 y2 C1(x2 1) C2xex,

zC1z1 C2z2 C1x C2ex.

3.Свойства решений неоднородной линейной системы

дифференциальных уравнений.

Рассмотрим далее неоднородную линейную систему (5.23)

которую в векторной и операторной формах мы записывали следующим образом

m

Y(x) iYi(x)

i 1

Таким образом, Y(x) является решением уравнения (5.23).

Физический смысл принципа суперпозиции заключается в следующем. Пусть имеется физическая или техническая система, внутренние свойства которой описываются линейным оператором L. Пусть на вход такой системы

m

F(x) iFi (x) , то на выходе из устройства будет наблюдаться сигнал

i 1 m

Y(x) iYi (x) (рис. 12).

i 1

139