Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 156-160

маятника. Решением уравнения (5.72) является функция s(t) s0 cos t, s0- начальное отклонение, начальная скорость равна нулю. Отметим, что это уравнение можно получить из уравнения Лагранжа, излагаемого в курсе теоретической механики.

Таким образом, при малых отклонениях от положения равновесия колебания маятника будут почти гармоническими с частотой , не зависящей от массы груза.

2. Уравнения упругого связанных маятников.

Рассмотрим связанные маятники одинаковой массы m, скрепленные пружиной жесткостью k . Пусть в некоторый момент времени стержни маятников составляют с вертикалью малые углы 1 и 2, а смещения масс от положения равновесия равны s1 и s2 (рис. 14).

O1

O2

l

1

2

x1

x2

m

s1

s2

Рис. 14

В этот момент растяжение пружины равно

x x2

x1 lsin 2 lsin 1 l( 2

1) (s2

s1).

Со стороны пружины на стержни подвеса маятников действуют силы

упругости

F1 и

F2, такие, что

k x k (s2 s1).

F1

F2

Относительно осей, проходящих через точки подвеса O1

и O2, силы

создают вращательные моменты, противоположные по знаку, но одинаковые по модулю

	M	k (s	2	s ) l k		2l (s	2	s ).
	M	k (s		s ) l k		2l (s		s ).
					1			1
Запишем уравнение колебаний маятника (5.72) в виде
		ml	d	2s	mg l .			(5.73)
		ml	dt2		mg l .			(5.73)
			dt2
					155

Добавим найденные вращательные моменты с учетом соответствующих знаков в правую часть уравнения (5.73), записанного для каждого маятника. Получим следующую систему уравнений

d2s

g

k 2

1

s

(s

s ),

l

m

2

1

2

1

(5.74)

dt

d2s2

g

s

2

k 2

(s

2

s ).

2

l

m

1

dt

Заменим систему (5.74) более удобной для решения, введя функции

s( ) s1 s2,

s( ) s1 s2.

Складывая и вычитая уравнения в системе (5.74) получим

d2s( )

g

s( ) 0,

dt2

l

(5.75)

2s( )

g

2

d

2k

s( ) 0.

dt2

m

l

Каждое из уравнений в (5.75) имеет вид (5.72), решение которого

известно.

s0

s0, а начальные скорости

Если начальные смещения маятников

и

1

2

равны нулю, то решения уравнений (5.74) имеют вид

s

(t) s0 cosw t,

s

(t) s

0 cosw t,

(5.76)

где

1

2

s0 s10 s20,

q

2k 2

.

w

q

,

w

1

l

2

l

m

Возвращаясь к переменным s1

и

s2,

из (5.76) получим:

s0

s

0

s0

s (t)

1

2

cosw t

1

2

cosw t,

1

2

1

2

(5.77)

s0

0

s0

0

s

2

(t)

1

2

cosw t

1

2

cosw t.

2

1

2

Из вида решений (5.77) вытекают следующие выводы.

Если начальные

смещения

одинаковы

s10 s20 s0, то

маятники

колеблются с одинаковой частотой w

q

и постоянной амплитудой

l

s1(t) s2(t) s0 coswt.

156

Если начальные отклонения противоположны s10 s20 s0, то колебания будут проходить с постоянной амплитудой, но с большей частотой

w

q

2k 2

, s

(t) s

0

cosw t,

s

2

(t) s

0

cosw t.

2

l

m

1

2

Если в начальный момент времени только один маятник смещен из

положения равновесия s10 s0,

s20 0, то получим

s (t)

s0

(cosw t cosw t),

s

2

(t)

s0

(cosw t cosw t).

1

2

1

2

1

2

После преобразования получим

s (t) s

0

cos

w2

w1

t cos

w2

w1

t,

s

2

(t) s

0

sin

w2 w1

t sin

w2

w1

t.

1

2

Так как разность w2 w1

существенно меньше суммы частот w2

w1, то

первые члены в решениях меняются со временем гораздо медленнее, чем

cosw2 w1 t и sin w2 w1 t . Поэтому можно считать, что колебания

2 2

маятников гармонические, но амплитуды, колебаний не постоянны, а медленно изменяются.

Задачи для самостоятельного решения

Решить системы уравнений:

dy

4y z,

3x

y e

(C1

C2x),

1.

dx

Ответ:

3x

dz

y 2z.

z e

(C1

C2 C2x).

dx

dy

y 2z,

y C ex C

e2x,

2

dx

1

2.

Ответ:

z C ex 3C2 e2x.

dz

3y 4z.

1

2

dx

dy

2y z,

y e

2x

(C1 cosx C2 sin x),

3.

dx

Ответ:

2t

dz

y 2z.

z e

(C1 sin x C2 cosx).

dx

157

dy		y 2z,


dx


4.
		dz	y z.

	dx
	dy		z,



5.	dx
	dz		y.

	dx
	dy		y 2z.



6. dx
		dz	y z.

	dx

y C1 cosx C2 sin x,
Ответ: z	1	(C	C	2	)cosx (C	C	2	)sin x .

2		1			1

y C1ex C2e x,

Ответ:

z C1ex C2e x.

y 2C1 cosx 2C2 sin x,

Ответ: z (C1 C2)cosx (C1 C2)sin x.

dy

y z,

y C1 C2e2x

1

x2 x ,

dx

7.

4

dz

Ответ:

2x

1

2

x y z.

z C2e

C1

4 x

x 1.

dx

dy

2y z sin x,

y C1 C2x 2sinx,

8.

dx

Ответ:

dz

4y

2z cosx.

z 2C1

C2(2x 1) 3sinx 2cosx.

dx

6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

6.1. Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений

Во многих задачах механики колебания консервативных систем с одной степенью свободы описываются дифференциальными уравнениями вида

		y0 f (y) 0,		(6.1)
где y – перемещение, f (y) –		некоторая	нелинейная функция от y –
восстанавливающая сила,	y–	ускорение.	Точками над	буквой обозначены
производные по времени	t. Пусть y y0		определяет положение равновесия
системы. Тогда f (y0) 0. Предположим,			что функцию	f (y) в окрестности
		158

точки y0 можно разложить в ряд Тейлора

		f (y) k (y y			0	) k	2	(y y			0	)	2 k	3	(y y	0	)3 ,
		1			0		2				0			3		0
где kn	1	dn f (y0)	.
где kn	n!		.
	n!	dyn
Если считать, что восстанавливающая сила является нечетной функцией
смещения от равновесия				f ( y) f (y) (т.е. пружина ведет себя одинаково при
растяжении и сжатии),				и ограничиться в разложении функции f (y) двумя
членами, то уравнение (6.1) примет вид
						x k x k			3	x3			0,				(6.2)
							1		3

где x y y0. Уравнение (6.2) обычно называют уравнением Дюффинга. Введем характерные масштабы задачи – линейный X и временной T , и

перейдем к безразмерным переменным

u

x

,

t

.

X

T

Используем правило дифференцирование сложной функции для перехода

к новым переменным

d

d d

1

d

d2

1

d

,

.

dt2

T2

d 2

dt dt d

T d

Тогда уравнение (6.2) преобразуется к виду

u k1T2u k3T2X 2u3 0.

Введем обозначения	2	k T2	,	k T2X 2	, где	0	и - безразмерные
	0	1		3		0

параметры, - характеризует степень нелинейности системы, точка над буквой обозначает дифференцирование по .

Тогда уравнение преобразуется к виду

u 02u u3 0.

(6.3)

В качестве начальных условий примем

u(0) u0,

u(0) u1.

(6.4)

Прямое разложение. Неравномерность разложения.

Решение уравнения Дюффинга (6.3) отыскиваем в виде ряда по степеням параметра , который считаем малым

u( , ) u	0	( ) u ( ) 2u	2	( ) .	(6.5)
	0	1	2

Ограничившись в решении членом правого порядка малости

u( , )=u	0	( ) u ( ) O( 2),	(6.6)
	0	1
		159

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: