Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Можно провести дальнейшее упрощение общего решения, если воспользоваться формулой для тангенса суммы дуг и обозначить C1 tgC . В результате получим

y x C1 . 1 C1x

Интегральной кривой является гипербола, смещенная и по оси OX , и по оси OY .

2. Доказанные в теореме 1 утверждения установлены в предположении, что (y) 0 ни при каком значении y из рассматриваемой области. Если( ) 0, где (c,d), то видно, что дифференциальное уравнение (2.1) имеет

( ) 0, то уравнение, кроме общего интеграла, имеет еще решение, не получающееся из общего.

Будет ли это решение y особым (т.е. будет ли в каждой его точке нарушаться условие единственности) – этот вопрос требует специального рассмотрения.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения y xy2 2xy.

Решение. Запишем данное уравнение в виде y xy(2 y). Отсюда видно, что функции y 0 и y 2 являются решениями уравнения.

Остальные решения уравнения найдем, применив процедуру разделения переменных и интегрируя уравнение с разделенными переменными:

Для вычисления интеграла в левой части равенства разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби

15

y 2 нельзя получить из общего интеграла ни при каком значении этого параметра.

Таким образом, вся совокупность решений рассматриваемого дифференциального уравнения включает общий интеграл и решение, не входящее в этот интеграл:

3. В симметрической форме уравнения с разделяющимися переменными имеют вид:

Разделение переменных в этом уравнении осуществляется умножением обеих частей (2.10) на множитель

1

.

P2(x)Q1(y)

Общий интеграл уравнения имеет вид:

16

решения. Соответствующие этим решениям интегральные кривые – прямые, параллельные осям координат.

Частный интеграл, удовлетворяющий начальному условию y(x0) y0 , записывается в виде:

2.2.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

1.К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся однородные уравнения после выполнения замены неизвестной функции на новую функцию.

Определение. Однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида

Таким образом, уравнение (2.1) будет являться однородным дифференциальным уравнением, если функция f (x, y) представляет собой однородную функцию переменных x и y нулевой степени однородности

f (tx,ty) t0 f (x, y). В этом случае функция зависит лишь от отношения этих переменных.

17

Теорема 2. Однородное дифференциальное уравнение (2.13) при условии, что функция (u) непрерывна и (u) u в интервале u (a,b), имеет общий интеграл, выражаемый в квадратурах. При этом через каждую точку

разделяющимися переменными. Действительно, так как y xu, то y u xu .

Предполагая, что (u) u и x 0, разделяем переменные и интегрируем:

Обозначив интеграл в левой части последнего равенства через Ф(u), где

u y , получим общий интеграл уравнения (2.13) в виде: x

(теорема 1, п.2.1) можем утверждать, что если в рассматриваемом интервале (a,b) функция (u) u непрерывна (для чего достаточно непрерывности функции (u)) и не обращается в ноль, то в области такой, что a u b, x 0 уравнение (2.15) имеет общий интеграл, выражаемый в квадратурах, а через каждую точку (x0,u0) указанной области проходит единственная интегральная кривая. Это же утверждение справедливо для уравнения (2.13), из которого уравнение (2.15) получается подстановкой.

Соответствующее значение параметра C получается из (2.16):

C0 Ф xy0 ln x0 .

0

Таким образом, решение с начальными условиями y(x0) y0 будет иметь вид

18

где Ф 1 - обратная функция для Ф(u).

Область единственности решения задачи Коши a y b или ax y bx, x

x 0, представляет собой внутреннюю часть двух вертикальных углов,

Таким образом, получен общий интеграл рассматриваемого ОДУ. Для получения частного решения подставим в общий интеграл начальные данные

вытекающим из однородного уравнения (2.13), найдутся такие значения u , при которых уравнение (u) u имеет решения, то каждому такому u0 будет