Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Для того чтобы разрешить последнее равенство относительно u , воспользуемся элементарным приемом:

Обозначив 1 p, получим окончательно уравнение линии:

C

Таким образом, решением уравнения (2.30) служит парабола (2.33), ось симметрии которой – ось OX , а фокус лежит в начале координат. Ось искомой параболы параллельна пучку световых лучей, а фокус параболы лежит в оптическом фокусе.

Вращая эту параболу вокруг оси OX , найдем искомую зеркальную поверхность – параболоид вращения.

Очевидно, что если источник света поместить в фокусе параболы, то световые лучи после отражения пойдут параллельным пучком.

Выполним линейную замену обеих переменных

Тогда уравнение (2.34) примет вид:

Чтобы преобразовать уравнение (2.38) в однородное потребуем, чтобы свободные члены в числителе и знаменателе аргумента функции, стоящей в правой части уравнения, обращались в нуль:

a2 b2 c2 0.

Неоднородная система линейных уравнений (2.39), при условии (2.36), однозначно определяет неизвестные параметры , . Таким образом, в новых переменных X,Y получаем однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка:

формулам (2.37), получим общий интеграл уравнения (2.34).

4. Остановимся теперь на случае, когда условие (2.36) не выполняется. Если определитель 0, элементы его строк пропорциональны:

a1 b1 k, a2 b2

поэтому a1 ka2, b1 kb2. Применяя подстановку a1x b1y z, получаем:

Таким образом, приходим к уравнению с разделяющимися переменными:

5. Имеется еще один тип дифференциального уравнения 1-го порядка, приводимое к уравнению с разделяющимися переменными – обобщенное однородное уравнение. Это уравнение вида

P(x, y)dx Q(x, y)dy 0,

где коэффициентные функции удовлетворяют условиям:

P(tx,tk y) tmP(x, y),

k m k 1

Q(tx,t y) t Q(x, y).

27

Не останавливаясь на методе интегрирования таких уравнений, отсылаем читателей к пособию (А.М. Самойленко [7]).

2.4.Линейное уравнение

1.Введем понятие линейного дифференциального уравнения 1-го порядка.

Уравнение вида

y в первой степени. Если разрешить это уравнение относительно производной, то получим уравнение

y p(x)y q(x).

Полученное уравнение является уравнением вида (2.1), в котором функция f (x, y) линейна по y, с коэффициентами, вообще говоря, зависящими от x. В частном случае p и q могут быть постоянными величинами.

28

Всюду далее будем предполагать, что функции p(x) и q(x) непрерывны

и называется однородным. Его левая часть является однородной линейной

непрерывны в интервале (a,b), причем p0(x) не обращается в нуль при всех x (a,b), то уравнение (2.43), делением обеих частей на p0(x), приводится к виду (2.41).

2. Из сформулированной в п. 1 теоремы Пикара о достаточном условии существования и единственности решения задачи Коши, вытекает, что в

предположении непрерывности функций p(x) и q(x) уравнение (2.41) имеет единственное решение y y(x), удовлетворяющее начальному условию y y0 при x x0 , где в качестве x0 можно брать любое число из интервала (a,b), а y0 можно выбирать произвольно.

Это означает, что через любую точку M0(x0,y0) полосы a x b, y ,

проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (2.41).

Отсюда следует, что вся указанная полоса на плоскости XOY заполнена непересекающимися гладкими интегральными кривыми линейного уравнения. При этом каждая интегральная кривая определена во всем интервале (a,b) и представляет собой график частного решения (рис. 6). Интегральные кривые

однородного уравнения (2.42) не могут пересекать ось OX . Действительно,

поскольку y 0 (a x b) является решением уравнения (2.42), то пересечение интегральной кривой оси OX означало бы нарушение единственности решения уравнения (через точку пересечения проходили бы две интегральные кривые).

3. Рассмотрим построения общего решения однородного уравнения,

соответствующего неоднородному линейному уравнению. Записав уравнение (2.42) в симметрическом виде

dy p(x)ydx 0,

получаем уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем:

29