Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 21-25

x

du

1 u2

;

du

dx

.

dx

1 u

2

x

Последнее получим при

условии

x

1 u2

0.

Интегрированием

находим

arcsinu ln

x

lnC1,

C1 0;

arcsinu ln C1

x

.

Учитывая, что

С

х

С х

и обозначая С С,

получим arcsinu lnCx, где

lnCx

1

2

y

или

e 2 Cx e2 . Заменяя

u

на

,

получим

общий

интеграл

x

arcsin y ln(Cx).

x	1 u2
Положим теперь x 0 и	1 u2	0. Но	x 0 не удовлетворяет

уравнению при произвольном у. Из второго равенств а имеем 1 у2 0, у х

х2

.

Проверка показывает, что эти функции являются решениями уравнения.

3. Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка в симметрической форме имеет вид

P(x, y)dx Q(x, y)dy 0,

(2.18)

где P(x, y) и Q(x, y) - однородные функции, одной и той же степени однородности:

P(tx,ty) tnP(x, y), Q(tx,ty) tnQ(x, y). (2.19)

Если в определении однородных функций в качестве параметра взять t x 1, то получим более наглядные соотношения:

n ~ y P(x, y) x P ,

x

	n ~ y
Q(x, y) x	Q	.	(2.20)

	x

Число n в равенствах (2.19) или	(2.20) называется	степенью (или
порядком) однородности.
Например, функция z 2x 3y	- однородная	1-го порядка,

z x2 3xy 4y2 - однородная функция 2-ой степени однородности. Симметрическая форма дифференциального уравнения имеет то

преимущество перед уравнением вида (2.1), что в качестве искомой функции можно выбирать либо y(x), либо x(y), в зависимости от удобства.

Однородное дифференциальное уравнение (2.18)-(2.19) сводится к

уравнению с разделяющимися переменными подстановкой
y ux,	dy udx xdu,	(2.21)
или подстановкой
x uy,	dx udy ydu.	(2.22)
	20

Построим общий интеграл однородного уравнения, записанного в симметрической форме. Сделаем замену искомой функции yпо формуле (2.21). Будем иметь

P(x,ux)dx Q(x,ux)(udx xdu) 0.

Поскольку

	y			y
P(x, y) xnP 1,		;	Q(x, y) xnQ 1,		,
P(x, y) xnP 1,		;	Q(x, y) xnQ 1,		,
	x			x
то, подставляя y ux, имеем
xnP(1,u)dx xnQ(1,u)(udx xdu) 0
или
P(1,u) uQ(1,u) dx xQ(1,u)du 0,					(2.23)
					(2.24)
x 0.					(2.24)

Уравнение (2.23) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получаем:

dx

Q(1,u)du

0,

(2.25)

P(1,u) uQ(1,u)

x

(2.26)

P(1,u) uQ(1,u) 0,

x 0.

Интегрируя (2.25), находим:

x

Q(1,u)du

C1

, C1 0.

ln

P(1,u) uQ(1,u)

Отсюда получим общее решение уравнения (2.25), выражающее

x как

функцию от u :

Q(1,u)du

x Cexp

,

(C

C1

).

P(1,u) uQ(1,u)

Введя обозначение

Q(1,u)du

(u)

,

y

P(1,u) uQ(1,u)

и заменяя u

, получим общий интеграл уравнения (2.18) в виде:

x

y

x Ce

(2.27)

x .

Разделяя переменные в

уравнении (2.23)

мы потеряли решения

вида

u u0 , где u0 - корень уравнения (2.26). Подставляя эти значения в формулу (2.21) найдем, что

y u0x	x 0	(2.28)
21

являются решениями однородного уравнения, соответствующие интегральные кривые – полупрямые, примыкающие к началу координат. Эти решения могут входить в совокупность, определяемую общим интегралом уравнения, но могут быть и особыми решениями. Особыми решениями могут быть также полуоси оси OY : x 0 (y 0). Других особых решений это уравнение иметь не может.

Пример. Найти решения дифференциального уравнения

	y		y
x ycos		dx xcos		dy 0.
			x
	x

Решение. Это уравнение является однородным, т.к. коэффициентами при dx и dy являются функции одной степени однородности:

		ty				y
tx tycos			t x ycos				;
		tx
						x
	ty			y
tx cos			t xcos		.
	tx
				x

Введем замену y xu. Имеем

(x xucosu)dx xcosu(xdu udx) 0, или

dx cosudu 0. x

Интегрируя, получим: ln x sinu C. Таким образом, общий интеграл

уравнения имеет вид:

ln x sin y C. x

4. Рассмотрим геометрическое свойство интегральных кривых однородного уравнения.

Поле направлений, определяемое однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка, а следовательно, и интегральные кривые этого уравнения обладают одним интересным свойством. Запишем однородное уравнение в виде

y , y x

и отметим, что функция (yx) сохраняет постоянное значение во всех точках любой полупрямой y kx (x 0), выходящей из начала координат, если, конечно, функция (k) существует при данном значении k . Поэтому все такие лучи являются изоклинами уравнения (2.13).

Выберем какую-нибудь интегральную кривую, не совпадающую с такими лучами. Если увеличить или уменьшить радиусы-векторы во всех точках интегральной кривой в одно и то же число раз, то получим кривую, у которой направление касательных во всех точках будет таким же, что и в соответствующих точках взятой первоначально интегральной кривой. Поэтому

22

полученные таким образом линии будут также являться интегральными кривыми уравнения.

Указанное преобразование радиусов-векторов называется

преобразованием подобия с центром подобия в начале координат. Оно означает замену текущих координат (x, y) линии текущими координатами

(X,Y) новой линии по формулам
X kx,	Y ky.	(2.29)

Таким образом, однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка обладает следующим свойством: всякая кривая, полученная из интегральной кривой однородного уравнения преобразованием подобия с центром подобия в начале координат, тоже является интегральной кривой.

Верно и обратное утверждение: все интегральные кривые, входящие в общий интеграл

		y
x Ce

	x ,

и не являющиеся лучами, выходящими из начала координат, могут быть получены при помощи преобразования подобия (2.29) из одной такой интегральной кривой.

Из приведенного свойства интегральных кривых однородного уравнения следует:

1) если интегральная кривая, отличная от луча, выходящего из точки (0,0) и, следовательно, заключенная на некотором интервале изменения x между двумя полупрямыми y uk x (k 1,2), примыкает к точке (0,0), то и все интегральные кривые, заключенные между этими лучами, примыкают к точке

(0,0);

2)если некоторая линия является интегральной кривой, то и симметричная относительно (0,0) линия является интегральной кривой;

3)если одна из интегральных кривых замкнута, то и все интегральные кривые замкнуты.

5. Рассмотрим физическую задачу, приводящую к однородному дифференциальному уравнению: найти форму зеркала, собирающего параллельные лучи в одну точку.

Выберем за ось OX прямую, параллельную лучам, за начало координат – точку пересечения всех лучей после отражения и проведем сечение поверхности зеркала плоскостью XOY . На этой плоскости будем искать кривую, обладающую указанным свойством (рис. 5).

Из геометрической оптики известно, что для идеальной зеркальной поверхности (что мы и предполагаем) углы падения и отражения равны: .

Поэтому треугольник ОТМ равнобедренный, следовательно TO OM . Если

23

точка M имеет координаты x, y, то OM x2 y2 . Координата точки T

находится из уравнения касательной

Y y y (X x),

где X,Y - текущие координаты. Полагая Y 0, X OT , получим:

							x
						OT x .
	y y (OT x),					OT x .
							y
				y

					M			L
								L
						y

					x
	T			0	P			x
Рис. 5. LM - луч света, падающий на кривую L и попадающий после
отражения в точку O;	TM - касательная к кривой в						точке M ; - угол между
лучом LM и касательной TM ;					- угол между отраженным от зеркала лучом
MO и касательной к зеркалу TM
Следовательно,	TO	y	x. Подставляя найденные величины в равенство
Следовательно,	TO		x. Подставляя найденные величины в равенство
		y

TO OM , получаем дифференциальное уравнение – математическую модель задачи:

y	x	x2 y2	.

y

Запишем это уравнение в симметрической форме:

	ydx (x	x2 y2 )dy 0.		(2.30)
Легко видеть, что полученное уравнение является однородным. Применив
подстановку x uy	(dx udy ydu),	получаем уравнение с разделяющимися
переменными:

	y(udy ydu) y(u		u2 1)dy 0,

ydu u2 1dy 0.

Разделяем переменные и интегрируем. Получим:

du

dy

C1,

ln

u

u2 1

ln

y

ln

C

, C 0;

y

2

u 1

24

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: