Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 36-40

q(x) определена и непрерывна при всех x, а функция p(x) - при x ( ,0) (0, ). Найдем его общее решение методом вариации постоянной.

Решим

соответствующее

ему однородное

z

2

z 0. Разделяя

переменные и интегрируя, получим

x

dz

2

dx

,

ln

z

ln

C

2ln

x

(C 0),

откуда z Cx2

z

x

(C 0) и z

0. Общее решение имеет вид

z Cx2, C ( , ).

Общее решение неоднородного уравнения, в соответствии с методом Лагранжа, ищем в виде y C(x)x2.

Находим производную y C (x)x2 2xC(x), которую, вместе с функцией y подставляем в уравнение. Получаем:

2

C (x)x

2xC(x)

C(x)x

x

или

x

1

dx

C (x)

,

dC(x)

,

C(x) ln

x

C .

x

Подставляя найденную функцию в выражение для общего решения,

получим окончательно:

y x2(C ln

x

).

Пример.

Найти общее

решение

уравнения xy 2x2y 1, пользуясь

формулой общего расчета (2.50).

Решение.

В данном случае p(x) 2x,

q(x) 1 x. Подставляя в формулу

(2.51), получим:

2xdx

1

2xdx

x2

ex

2

y e

C

e

dx

e

C

x

dx .

Отметим, что интеграл, содержащийся в записанном общем решении не выражается в конечном виде через элементарные функции.

5.2. Метод Бернулли построения общего решения.

Другим по форме, но идентичным по существу, является метод Бернулли, в соответствии с которым решение неоднородного линейного уравнения ищется в виде произведения двух функций

y u(x)v(x).

(2.54)

Подставляя (2.54) в уравнение (2.41), получим:

vdu u dv p(x)uv q(x), dx dx

35

или


	du		dv
v		u			p(x)v	q(x).	(2.55)
v	dx	u			p(x)v	q(x).	(2.55)
	dx		dx
Функцию v(x) выбираем так, чтобы
			dv	p(x)v 0.			(2.56)
				p(x)v 0.			(2.56)
			dx

Это означает, что на одну из двух функций налагается требование – она должна удовлетворять однородному уравнению, соответствующему данному неоднородному. Таким образом, дифференциальное уравнение (2.55) будет равносильно системе двух дифференциальных уравнений, одно из которых – уравнение (2.56), а другое получается из (2.55) при условии (2.56). Имеем:

dv		p(x)v 0,


				(2.57)
dx
	du
v			q(x).
	dx

Оба уравнения системы (2.57) являются уравнениями с разделяющимися переменными. Для первого из них мы возьмем частное решение

v exp( p(x)dx) (см. формулу (2.48)). Из второго уравнения получаем

du q(x) dx, u q(x)e p(x)dxdx C. v

Подставив найденные функции v(x) и u(x) в формулу (2.54), получим

общее решение уравнения

y e p(x)dx
y e p(x)dx	C	q(x)e p(x)dxdx .


Пример. Решить уравнение	y sin x ycosx		sin	2 x	.
Пример. Решить уравнение	y sin x ycosx		x2		.
			x2

Решение. Ищем его в виде y u(x) v(x). Дифференцируя по х, имеем: y u v uv .

Подставим эти выражения в уравнение

		sin	2 x
u vsin x uv	sin x uvcosx			(*)
u vsin x uv	sin x uvcosx	x	2	(*)

и потребуем, чтобы функция v(x) удовлетворяла однородному уравнению

dvsin x vcosx 0. dx

Отсюда	dv		cosx	dx,	lnv lnsin x ,	v sin x.

v	sin x
	36

Подставим функцию v в уравнение (*) и учитывая равенство нулю подчеркнутой части, получим уравнение для u(x)

			du	sin2 x	sin	2 x	.
				sin2 x	x	2	.
	1		dx		x	2
Отсюда u(x)	1	C,	C		и, таким образом,
Отсюда u(x)		C,	C		и, таким образом,
	x

y sin x Csin x. x

Пример. Найти решение задачи Коши

	y x	2	(2x 1),
x(x 1)y	y x		(2x 1),


y(2) 4.

Решение. Ищем общее решение дифференциального уравнения методом Бернулли y uv. Подставляя y и y u v uv в уравнение, получим:

x(x 1)(u v uv ) uv x2(2x 1), x(x 1)u v u x(x 1)v v x2(2x 1).

Налагаем требование на функцию v(x) - равенства нулю выражения в квадратных скобках. Получаем систему дифференциальных уравнений

x(x

Решаем первое уравнение,

1) dv v 0, dx

1)v du x2(2x 1). dx

разделяя переменные

dv	dx		lnv	dx
		,			.
v	x(x 1)			x(x 1)

Разлагаем подынтегральную правильную рациональную дробь на сумму простых дробей:

1

A

B

x(x 1)

x 1

x

откуда A(x 1) Bx 1. Полагая x 0, получим A 1;

полагая x 1, получим

B 1. Таким образом, имеем:

lnv

dx

ln

x

.

x

x 1

Частное решение берем в виде v

x

. Подставляя эту функцию во

второе уравнение системы, получим:

x 1

du

du (2x 1)dx,

u x2 x C.

x2

x2(2x 1),

dx

37

Общее решение имеет вид
		x		2				2		x
y			(x		x C) x				C		.
y			(x		x C) x				C		.
		x 1								x 1
Для построения решения задачи Коши найдем значение C, используя
начальное условие x0 2,	y0 4. Имеем:
		4 4 C				2	, C 0.
		4 4 C					, C 0.
					1

Решением задачи Коши является функция y x2.

Задачи для самостоятельного решения

1.

y ytgx xtgx 1,

y(0) 1.

Ответ: y Csin x x.

2.

y sin 2x 2(y cos x).

Ответ:

y ctgx

1

.

cosx

3.

y 2xy 3x2 2x4,

y(0) 1.

Ответ: y ex2 .

4.

dx (x y)dy 0.

Ответ: x Ce y y 1.

5.

y ytgx 2sin x,

y(0) 1. Ответ:

y

1

(C cos2 x),

y cosx.

cosx

6.

ex(y y) 1.

Ответ: y e x(x C).

x

2

y

2xy ln x 0.

Ответ: y

ln x 1

C

7.

x

x2 .

y y sin x.

Ответ: y Ce

x

1

(cosx sin x).

8.

2

Уравнение вида

2.5. Уравнение Бернулли

y p(x)y q(x)yv,

(2.58)

где v - любое действительное число, называется уравнением Бернулли. Если v 0, то уравнение Бернулли вырождается в линейное уравнение (2.41); при v 1 уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными:

y p(x)y q(x)						(v 0);
y (q(x) p(x))y						(v 1).
Уравнение (2.58) также будет являться уравнением с разделяющимися
переменными при p(x) q(x).			Ниже мы			рассмотрим случай, когда v 0,
v 1. Относительно функций		p(x) и q(x) будем предполагать, что они
непрерывны при x (a,b) и	p(x)			q(x)	.

1. Уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению подстановкой

38

1	(z y1 v).
y z1 v ,	(z y1 v).	(2.59)

Действительно, применив эту подстановку, найдем производную новой функции

z (1 v)y vy .

Умножив обе части уравнения (2.58) на (1 v)y v (предполагая, что y 0 если v 0), получим дифференциальное уравнение для новой функции

z (1 v)p(x)z (1 v)q(x),

(2.60)

которое является линейным уравнением. Интегрируя полученное уравнение методом, изложенным в п. 2.4, получим общее решение уравнение Бернулли в виде

1

	(v 1)	p(x)dx		(1 v)	p(x)dx		1 v
	(v 1)	p(x)dx	C (1 v) q(x)e	(1 v)	p(x)dx	dx		.	(2.61)
y e			C (1 v) q(x)e			dx		.	(2.61)

Читателю рекомендуется самостоятельно получить это решение. Таким образом, уравнение Бернулли также интегрируется в квадратурах.

2. Помимо общего решения уравнение Бернулли при v 0 имеет еще очевидное решение y 0 (при v 0 функция y 0 не является решением уравнения). При 0 v 1 решение y 0 не содержится в формуле общего решения. Оно является особым решением, поскольку в каждой точке этого решения нарушается единственность решения задачи Коши.

При v 1 решение y 0 является частным решением,		так как в этом
случае	через точки оси OX не проходит ни одна интегральная	кривая (кроме
y 0,	т.е. самой оси OX). Таким образом, при v 1 во всякой точке оси OX

решение существует и единственно. Формально это решение можно включить в семейство (2.61), положив C .

3. При решении уравнения Бернулли нет необходимости пользоваться готовой формулой (2.61). Проще превратить его в линейное уравнение, используя подстановку (2.59), или же непосредственно использовать метод Бернулли, отыскивая решение уравнения в виде y u v.

Пример. Найти решение уравнения xy y y2 ln x.

Решение. Разделив обе части уравнения на x видим, что это уравнение типа (2.58) при v 2. Разыскиваем его решение в виде произведения двух функций y u v. Подставим в уравнение y u v uv , y u v, получим:

u v uv 1uv u2v2 ln x, x x

39

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: