Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 46-50

2U 2U ,x y y x

что влечет равенство (2.68).

Докажем, достаточность условия. Пусть условие (2.68) выполнено. Докажем, что можно построить такую функцию U U(x, y), полный дифференциал которой удовлетворяет равенству (2.63). Если такая функция существует, то из (2.63) и (2.64) вытекают равенства (2.69).

Из первого равенства в формулах (2.69) следует, что x

U(x, y) P(x, y)dx C(y).	(2.70)
x0	y, поскольку
Здесь C(y) - произвольная дифференцируемая функция от
при интегрировании по x, y рассматривается как постоянная величина. При

любом выборе дифференцируемой функции C(y)								и нижнего предела интеграла
x0	справедливо	U	P(x, y).
x0	справедливо		P(x, y).
		x
	Таким образом, функция (2.70) удовлетворяет первому из условий (2.69).
	Покажем, что функцию C(y) можно выбрать так, чтобы удовлетворялось
и второе равенство в (2.69), то есть выполнялось
				U		x
				U
						P(x, y)dx C(y)		Q(x, y).	(2.71)
				y	y	P(x, y)dx C(y)		Q(x, y).	(2.71)
				y	y	x	0
							0

Вычислим производную и учтем, что по нашему предположению справедливо равенство (2.68). Имеем:

x

P(x,y)dx C (y)

y

x0

x	Q(x, y)
				Сравнивая
	x
		dx C (y) Q(x,y) Q(x0	, y) C (y).

x0

последнее равенство с (2.71), видим: для того, чтобы выполнялось требование

U Q(x, y), надо, чтобы функция C(y) удовлетворяла дифференциальному

y

уравнению

dC(y) Q(x0, y). dy

Отсюда получаем:

y

C(y) Q(x0,y)dy	(c y0 d),	(2.72)
y0

45

где выбрано решение уравнения, которое при y y0 обращается в нуль. Подставляя (2.72) в (2.70), получаем:

x y

U(x,y) P(x,y)dx Q(x0,y)dy.		(2.73)
x0	y0

Таким образом доказано, что при выполнении условия (2.68) дифференциальное выражение Pdx Qdy является полным дифференциалом и найдена функция U(x, y) полный дифференциал которой равен этому

выражению.	общий интеграл
Из (2.67) получаем, что	общий интеграл	уравнения в полных
дифференциалах имеет вид:	y
x	y
P(x, y)dx Q(x0, y)dy C.		(2.74)
x0	y0

Следовательно, общий интеграл выражается в квадратурах. Пример. Найти общий интеграл уравнения

y		2xy 3y2
	2y 6xy x2 .

Решение. Это уравнение не является ни уравнением с разделяющимися переменными, ни однородным, ни линейным. Запишем его в симметрической форме:

(2xy 3y2)dx (x2 6xy 2y)dy 0

и проверим выполнимость условия (2.68). Имеем:

P

(2xy 3y2) 2x 6y,

y

Q

2

(x

6xy 2y) 2x 6y.

P

x

Так как

=

Q

, то данное уравнение является дифференциальным

y

x

уравнением в полных дифференциалах. Найдем его общий интеграл по формуле (2.74), положив x0 y0 0:

x	y
(2xy 3y2)dx ( 2y)dy C,
0	0
или, вычислив интеграл	x2y 3y2x y2	C.

З а м е ч а н и е. Формула (2.74) не имеет симметричной формы: в первом интеграле стоит функция P(x,y), а во втором - функция Q(x0, y), зависящая от

46

одной переменной. Это связано с тем, что при выводе формулы исходным

пунктом являлось условие P U . Если же начать получение выражения для

x

U(x, y) из условия Q	U	,	то, рассуждая также, как при выводе	(2.74),

	y
получили бы общий интеграл уравнения (2.62), (2.63) в виде:
x			y
P(x, y0)dx Q(x, y)dy C.				(2.75)

x0 y0

Разумеется, для записи общего интеграла уравнения в полных дифференциалах можно пользоваться любой из этих формул.

Пример. Найти общий интеграл уравнения

x2		1
xydx				dy 0,	y 0.
	2
			y

Решение. Поскольку

P

Q

x2

1

(xy) x,

x,

2

y

x

y

то, в соответствии с условием (2.68), данное уравнение является уравнением в

полных дифференциалах. Применяя формулу (2.75), положив x0 0,

y0 1.

Получим:

			x	y	x	2	1
					x		1
			xdx		2		y	dy C,
			0	1
		2y	0	1
или	x	2y	ln y C .
или		2	ln y C .
		2

x2	x	x2y			y

	0			ln y	C,
2			2
					1

Использование формулы (2.74) привело бы также к этому выражению. 3. Рассмотрим решение задачи Коши для уравнения в полных

дифференциалах. Можно, поступая по общему правилу, найти значения постоянной C исходя из общего интеграла в форме (2.74) или (2.75), используя заданные начальные условия (напомним, что в этих формулах числа x0 и y0 - произвольны, выбираются из соображений удобства).

Однако, можно получит решение задачи Коши с начальными данными x x0, y y0 непосредственно, положив в формуле (2.74) (или (2.75)) C 0:

x y

P(x, y)dx Q(x0, y)dy 0,		(2.76)
x0	y0

47

					x			y
или					P(x, y0)dx Q(x, y)dy 0.				(2.77)
					x0			y0
	Покажем это. Обозначим левую часть в (2.76) через U(x, y)
						x		y
					U(x, y) P(x, y)dx Q(x0, y)dy.
						x0		y0
	Очевидно, что U(x0, y0) 0, но хотя бы одна из частных производных в
точке	M0	(x0	, y0)	U	(M0),	U	(M0) не равна нулю, так эти производные
точке	M0	(x0	, y0)		(M0),		(M0) не равна нулю, так эти производные
				x		y
равны соответственно P(x0, y0) и Q(x0, y0). Пусть, например,									Q(x0, y0) 0.

Тогда, по теореме существования неявной функции, уравнение (2.76) определяет y как функцию от x: y y(x). И эта функция удовлетворяет условию y(x0) y0. В случае, когда P(x0, y0) 0 (2.76) определяет x как функцию от y, x x(y), удовлетворяющую условию x(y0) x0.

4. Уравнение с разделяющимися переменными – частный случай

уравнения в полных дифференциалах.

Запишем уравнение (2.1) в симметрической форме

f (x)dx	1	dy 0.

	(y)

В этом случае P(x, y) f (x),	Q(x, y)	1	. Поэтому:	P	Q	0.

	(y)			y	x

Общий интеграл уравнения запишем по формуле (2.74):

x	y	dy
f (x)dx		dy	C.
f (x)dx		(y)	C.
x0	y0

Этот же результат получается и непосредственно интегрированием уравнения с разделенными переменными, если в формуле (2.6) неопределенные интегралы заменить определенными с переменными верхними пределами.

5. Рассмотрим вопрос о единственности решения уравнения в полных дифференциалах.

Теорема. Дифференциальное уравнение						P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 при
условии, что в области a x b, c y d выполняются требования:
1) P(x, y), Q(x, y),	P	и	Q	непрерывны; 2)	P	=	Q	; 3) P(x, y) и Q(x, y) не
	y		x		y		x

обращаются одновременно в нуль, во первых - имеет общий интеграл, выражаемый в квадратурах, во вторых – начальным условием y(x0) y0 , где

48

M0(x0, y0) - любая точка указанной области, определяется единственное решение.

Доказательство. Первая часть теоремы доказана в п. 2 настоящего раздела и там же это решение было фактически построено в квадратурах в виде

(2.74) или (2.75).
Докажем вторую часть утверждения -	через любую начальную точку
M0(x0, y0), принадлежащую указанной	в теореме области проходит

единственная интегральная кривая, если в этой точке не обращаются в нуль обе функции P(x, y) и Q(x, y).

Полагая

в выражении общего интеграла (2.74)

C 0, получим частный

интеграл, удовлетворяющий начальному условию

x x0, y y0

U(x, y) 0,

где U(x, y)

определяется формулой (2.73). Из этой формулы следует

U

P,

U

x

Q. Пусть Q(x0, y0) 0. Поскольку U(x0, y0) 0,

U и

непрерывны,

y

U

Q(x0,y0) 0, то выполняются условия теоремы о неявной функции.

y

M0

U(x, y) 0

Поэтому можно утверждать, что уравнение

определяет

единственное решение y (x), удовлетворяющее условие (x0) y0.

В случае если Q(x0, y0) 0, но

P(x0, y0) 0

аналогично предыдущему

можно показать, что через точку

M0(x0, y0)

проходит

единственная

интегральная кривая вида x (y).

Точка

M0(x0, y0)

в которой

P(x0, y0) 0

и

Q(x0, y0) 0 является

особой точкой.

Задачи для самостоятельного решения

Проинтегрировать уравнения:

1.

(y sin x)dx (x 1)dy 0.

Ответ: (x 1)y cosx C.

2.

2x

dx

y2

3x2

dy 0.

Ответ: x2 y Cy2.

y3

y4

3.

(2x y)dx (x 2y)dy 0.

Ответ: x2

xy y2

C.

4.

(x3 y)dx (x y)dy 0.

Ответ:

x4

xy

y2

C.

4

2

5.

(2xy 3y2)dx (x2 6xy 3y2)dy 0.

Ответ: 3xy2

x2y 3y x2

C.

2

3 2

2

Ответ:x

(x

y)

C.

6.

2x(1 x

y)dx x

ydy 0.

3

49

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: