Материал: Операционное исчисление. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу Высшая математика. Пантелеев И.Н

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

329 - 2014

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы

по курсу "Высшая математика" для студентов направления 280700.62 «Техносферная безопасность»,

профили «Защитавчрезвычайныхситуациях», «Безопасностьжизнедеятельностивтехносфере», «Защитаокружающейсреды», очной формы обучения

Воронеж 2014

Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев

УДК 681.3.06

Операционное исчисление: методические указания для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая

математика"

для

студентов

направления

280700.62

«Техносферная

 

безопасность»,

профили «Защита

в

чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды», очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. И.Н. Пантелеев. Воронеж, 2014. 46с.

Настоящие методические указания предназначены в качестве руководства для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая математика" при изучении в 3 семестре раздела «Операционное исчисление» для студентов специальности ТБ. В работе приведен теоретический материал, необходимый для выполнения заданий и решения типовых примеров.

Методические указания подготовлены на магнитном носителе в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и

содержатся в файле Vmfmm_OpeRIscH _2.pdf.

Ил.2. Библиогр.: 8 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Ломакин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2014

1. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задача 1. Является ли оригиналом функция f t et2 ? Решение: Данная функция не является оригиналом, так как неравенство et2 Mest не может выполняться ни при каких s

для всех t > 0, так как lim

et2

lim

1

 

et t s , что для любого s

Mest

M

t

t

 

выполнено неравенство et2

Mest ,

начиная с некоторого

значения t.

 

 

 

 

 

Задача 2. Найти изображения оригинала: f t 2 t3 t cos 2t 3t

Решение: По таблице изображений найдем:

 

2

 

3

 

3!

 

 

 

 

 

 

p2 4

 

 

t

 

t ln 3

.

1

2

 

; t

 

 

 

; t cos 2t

 

 

 

; 3

e

 

 

 

p

 

p4

( p2 4)2

 

p ln 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F p

 

2

 

3!

 

 

p2 4

 

 

 

1

 

.

 

 

 

 

 

p

p4

 

( p2 4)2

 

p ln 3

 

Задача 3. Найти оригиналы, соответствующие изображению:

 

4

 

 

 

 

 

3 p 1

 

 

 

e p

 

.

 

p 1 4

 

 

p2 4 p 29

 

p 2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение: Преобразуем F p таким образом, чтобы можно

было воспользоваться таблицей изображений:

4

 

 

 

 

4 3!

 

 

e t t3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

1

4

 

 

3! p 1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прежде чем преобразовывать второе слагаемое выделим полный квадрат в знаменателе для того, чтобы воспользоваться свойством линейности преобразования Лапласа:

3 p 1

 

3 p 1

 

3 p 2 7

3e 2t cos 5t 7 e 2t sin 5t

 

 

 

 

 

 

 

p2 4 p 29

 

p 2 2 25

 

p 2 2 25

 

5

При построении оригинала, соответствующего третьему слагаемому сначала найдем оригинал для функции

1

 

1 e2t t2

f t ,

 

p 2 3

 

2

 

а затем применим теорему запаздывания для оригинала:

e

p

3

f t 1

1 e2 t 1 t 1 2 t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

p 2

 

 

 

 

 

 

Задача 4. Не вычисляя интегралы, найти изображение

0t e d

Решение: Воспользуемся теоремой об интегрировании

оригинала:

.

e 1

 

 

И, значит,

t e d

 

p 1 2

 

1

 

.

 

1

 

: p

 

 

0

 

p 1

 

 

 

p p 1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

Задача 5. Вычислить интеграл 0t et sin d

Решение: Интеграл 0t et sin d представляет собой свертку

функций sin и e . Ее изображением согласно теореме о свертке будет функция

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

1

 

 

 

p

 

 

 

1

 

 

F p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

p

2

 

p 1

2

 

 

p

2

p

2

 

1

 

 

p 1

 

1

 

1

 

Мы привели дробь, представляющую изображения в виде алгебраической суммы дробей таким образом, чтобы для каждой части существовал оригинал в таблице. Тогда

2

убедимся, что оригиналом этого изображения служит следующая функция f t 12 et cos t sin t . И, значит,

0t et sin d = 12 et cos t sin t .

Задача 6. Найти решение задачи Коши

x x 1; x 0 1.

Решение: Пусть функция x t имеет изображение X p . Тогда по теореме о дифференцировании оригинала получим

x t pX p x 0 pX p 1 .

Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения. Выпишем получившееся операторное уравнение

pX p 1 X p 1p .

Откуда получим

 

 

 

 

 

X p

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

Таким образом

 

 

 

 

 

x t 1 .

 

Задача 7. Решить систему уравнений

 

 

 

 

 

 

 

2e

t

 

 

 

 

 

 

x y

 

x(0)

y(0)

1 .

 

 

 

 

 

t

 

 

x

2e

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение: Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p .

 

x t X p и

y t Y

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учтя, что et

 

 

, получим операторную систему линейных

p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнений

3

 

 

2

 

 

p 1

pX p 1 Y p

 

 

pX p Y p

 

 

p 1

p 1

 

 

 

 

 

2

 

 

p 1

pY p 1

X p

 

pY p X p

 

 

 

 

 

 

p 1

 

p 1

 

 

 

Решая систему, получим X p = Y p

1

.

 

p 1

Воспользовавшись таблицей изображений, найдем x t et и y t et .

Задача 8. Решить интегральное уравнение

0t et x d t .

Решение: Интеграл представляет собой свертку функций et и

x t . Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x t X p . Тогда по теореме о свертке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выпишем изображение интеграла

 

 

1

 

.

 

t t

 

 

t

 

 

 

 

 

0 e

 

x

d

 

 

e * x t

 

 

 

 

 

 

X p

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составим теперь операторное уравнение

 

 

 

 

 

 

1

 

X p

 

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

p2

 

 

 

 

 

откуда

 

 

X p

 

 

p 1

 

1

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

p

p2

 

 

И, значит,

 

 

 

 

 

 

x t 1 t .

 

 

 

 

 

 

Задание 9. Найти изображение функции, заданной графиком

(рис. 1):

Рис. 1

4

Источник: https://studfile.net/preview/16564593/

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_10_Эмиль Золя для эл версии
_1966(~1