Материал: Операционное исчисление. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу Высшая математика. Пантелеев И.Н
Решение. Согласно графику функции (обозначим ее через f (t) ), имеем:
0,1,
f (t) 1,
0,
t 2
2 t 3
3 t 4 t 4.
Поэтому ее изображение можно найти, используя формулу преобразования Лапласа:
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|||
|
|
F( p) e pt f (t)dt e ptdt e ptdt |
||||||||
0 |
2 |
|
3 |
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
2 p |
|
|
|
|
e 3 p e 2 p e 4 p e 3 p |
e p |
1 2e p e 2 p |
|||||||
p |
||||||||||
|
|
|
e p 1 e p 2 |
|
|
e p e 2 p 2 |
. |
|||
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
||
Ответ. F p e p e 2 p 2 . p
Задание 10. Контур подключен к постоянной э.д.с. E0 (см.
рис.2). При установившемся режиме включается рубильник K и накоротко замыкает сопротивлениеR2 . Найти выражение
переходного тока. R1 1, R2 2, L 2, E0 3 .
Рис. 2
5
Решение. Дифференциальное уравнение Кирхгофа до включения рубильника K в данном случае имеет вид:
L |
di(t) |
Ri(t) E |
0 |
, |
R R R |
2 |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dt |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
задачи i(0) 0 . Решим это уравнение |
||||||||||||||
Согласно постановке |
||||||||||||||||
операционным методом, предполагая, что i(t) F( p) . |
|
|||||||||||||||
|
2 |
di(t) |
|
3i(t) 3, |
i(0) 0. |
|
|
|
|
|||||||
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 pF( p) 3F( p) |
3 |
, |
F( p) 2 p 3 |
3 |
, |
|
F( p) |
3 |
. |
|||||||
p |
|
|
p(2 p 3) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
||||
Найдем оригинал получившегося изображения, разложив дроби на простые слагаемые методом неопределенных коэффициентов:
|
F( p) |
A |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 p 3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 Ap 3A Bp 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 : 2 A B 0 |
F( p) |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
1 |
. |
||||
p0 : 3A 3 |
|
2 p 3 |
p |
|
|||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
p 1.5 |
||||||
A 1; B 2
Таким образом, i(t) 1 e 1,5t .
Установившийся ток в контуре до включения рубильника K
есть iyc 1. Дифференциальное |
|
уравнение |
Кирхгофа после |
||||||||||
замыкания рубильника K имеет вид: |
|
|
|
||||||||||
L |
di(t) |
|
R i(t) E |
0 |
, i(0) 1 . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
dt |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решим это уравнение операционным методом. |
|
|
|||||||||||
2 |
di(t) |
i(t) 3, |
i(0) 1. |
|
|
|
|||||||
dt |
|
3 2 p |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2( pF( p) 1) F( p) |
3 |
|
, F( p) 2 p 1 |
3 |
2, |
F( p) |
. |
||||||
p |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
p(2 p 1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
Как и в предыдущем случае воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для разложения изображения на слагаемые.
|
F( p) |
A |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 p 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
2Ap A Bp 3 2 p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p1 : 2A B 2 |
F( p) |
3 |
|
|
4 |
1 |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
. |
|||||
p0 : A 3 |
|
p |
2 p 1 |
p |
p 0.5 |
|||||||||
A 3; B 4
Оригиналом получившейся разности, как нетрудно заметить, будет i(t) 3 2e 0.5t .
Ответ. i(t) 3 2e 0.5t .
7
2. ВАРИАНТЫ ТИПОВОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Вариант 1
1.Является ли оригиналом функция f (t) 3t (t)
2.Найти изображения оригинала: sint 2t sin 2t cos 3t
3.Найти оригиналы, соответствующие изображению:
2 p 7
p 1 p2 3 p
4.Не вычисляя интегралы, найти изображение 0t e sin 2 d
5.Вычислить интеграл 0t sin cos t d
6.Найти решение задачи Коши
x 2x x t2 5t 4; x 0 1; x 0 0
7. Решить систему уравнений |
|
|
x x y 2t 5 |
x 0 0; y 0 1 |
|
|
y 2x 3x t |
|
|
|
|
8. |
Решить интегральное уравнение 0t et x d 3t2 |
1 |
|||
9. |
В контур (см. рис.) |
при нулевых начальных |
условиях |
||
|
|
E |
0 t 3 |
. Найти выражение |
|
|
подключена э.д.с. u(t) 1 |
|
|||
|
|
E2 |
t 3 |
|
|
|
переходного тока при |
t 3 при условиях колебательного |
|||
|
процесса. |
|
|
|
|
8
10.Найти изображение функции заданной следующим графиком:
Вариант 2
1.Является ли оригиналом функция f (t) t3 (t)
2.Найти изображения оригинала: sint 2t e2t cht
3.Найти оригиналы, соответствующие изображению:
p
2 p 1 p 3
4.Не вычисляя интегралы, найти изображение 0t sin 2 d
5.Вычислить интеграл 0t sin sin t d
6.Найти решение задачи Коши x x 1; x 0 1
7.Решить систему уравнений
x x y sin t |
x 0 0; y 0 1 |
|
|
y 2x sin t |
|
|
|
|
8. Решить интегральное уравнение 0t et x d sin t
9. На рисунке изображена цепь, замыкаемая и размыкаемая рубильником K . Рубильник остается замкнутым в течение 2 секунд и разомкнутым в течение 3 секунд, причем эта операция повторяется периодически в той же последовательности. Определить выражения тока в цепи при третьем замыкании и третьем размыкании, предполагая, что i(0) 0 .
9