Дипломная (вкр): Оптимизационные методы оценки кредитоспособности предприятий
Таким образом, выявленные недостатки ставят вопрос о необходимости построения новых или усовершенствования существующих моделей оценки кредитоспособности с достаточной степенью достоверности на основе современных условий с простой интерпретацией и по мере возможности с меньшими недостатками. Многочисленные модели оценки кредитоспособности предприятий подтверждают важность разработки достоверной оценки финансового состояния исследуемого предприятия.
В связи с этим в данном диссертационном исследовании в дальнейшем
необходимо усовершенствовать существующие математические модели оценки
кредитоспособности и прогнозирования возможной вероятности банкротства
предприятий для принятия решения о возможности выдачи кредита с помощью
математического аппарата. Оценка кредитоспособности предприятия при анализе его
финансового состояния и вероятности банкротства является актуальной,
практически значимой и важной научной проблемой в современных условиях, главы
2-3 данной диссертации посвящены её решению.
1.2 Среднеквадратичное приближение
Для того чтобы сгладить дискретные функции Альтмана, и тем самым внести в теорию идею непрерывности, применялось среднеквадратичное интегральное приближение многочленом разных степеней.
Известно, что последовательность интерполяционных многочленов по
равноотстоящим узлам не обязательно сходится к функции, если даже функция
бесконечно дифференцируема. Для приближаемой функций с помощью подходящего
расположения узлов удаётся снизить степень полинома. [11]. Структура функций
Альтмана такова, что удобнее использовать приближение функции не с помощью
интерполяции, а с построением наилучшего среднеквадратичного приближения в
нормированном линейном пространстве. Рассмотрим основные понятия и сведения при
построении наилучшего приближения [11]. Задачи приближения и оптимизации
ставятся в линейных нормированных пространствах.
1.2.1 Метрические и линейные нормированные пространства
К наиболее широким понятиям математики относятся «множество» и «отображение». Понятие «множество», «набор», «совокупность», «семейство», «система», «класс» в нестрогой теории множеств считаются синонимами.
Термин «оператор» тождествен термину «отображение». Термины «операция», «функция», «функционал», «мера» - частные случаи понятия «отображение» [50].
Термины «структура», «пространство» при аксиоматическом построении математических теорий также приобрёл в настоящее время основополагающую значимость. К математическим структурам принадлежат теоретико-множественные структуры (упорядоченные и частично упорядоченные множества); абстрактно-алгебраические структуры (полугруппы, группы, кольца, тела, поля, алгебры, решетки); дифференциальные структуры (внешние дифференциальные формы, расслоенные пространства) [43], [37], [76], [91], [16], [17], [50].
Под структурой понимается конечный набор, состоящий из множеств носителя 
(основное множество), числового поля
(вспомогательное множество) и отображение, заданных на элементах носителя и
числах поля. Если в качестве носителя взято множество комплексных чисел, то оно
играет роль и основного, и вспомогательного множества. Термин «структура»
тождественен понятию «пространство» [50].
Чтобы задать пространство, необходимо прежде всего задать
множество-носителя со своими элементами (точками), обозначаемых латинскими и греческими
буквами
В качестве носителя могут выступать множества элементов действительных
(или комплексных): чисел; векторов, 
; Матриц, 
; Последовательностей, 
; Функций 
;
В качестве элементов носителя могут выступать также множества: действительной оси, плоскости, трёхмерного (и многомерного) пространства, перестановки, движения; абстрактные множества.
Определение. Метрическое пространство есть структура, образующая тройку 
, где отображение 
есть неотрицательная действительная
функция двух аргументов для любых x и y из M и удовлетворяющая трём аксиомам.
1- 
- неотрицательность ; 
, при 
.
2- 
- симметричность;
3- 
- аксиома рефлексивности.
где 
- это расстояния между элементами 
.
В метрическом пространстве задаётся метрика и формируется понятие о близости двух элементов из множества носителя.
Определение. Действительное линейное (векторное) пространство есть
структура 
, где отображение 
- аддитивная операция сложения
элементов, принадлежащих 
, а отображение 
- операция умножения числа 
на элемент 
из .
Операция 
означает, что для любых двух элементов 
однозначно определен третий элемент 
, называемый их суммой и обозначаемый
через 
, причем выполняются следующие
аксиомы.
- коммутативное свойство.
- ассоциативное свойство.
В существует особый элемент,
обозначаемый через 
такой, что для любого 
выполняется 
.
для любого существует 
, такой, что 
.
Элемент 
называется противоположным к и обозначается через 
.
Операция 
означает, что для любого элемента и любого числа определен элемент , обозначаемый через 
и выполняется аксиомы:
, 
.
.
.
.
Элемент (точки) линейных пространства называется также векторами.
Аксиомами 1 - 4 задаётся группа (аддитивная), называемая модулем и
представляющая собой структуру 
.
Если операция в структуре не подчиняется никакими аксиомам, то такую структуру
называют группоидом. Эта структура предельно бедна; в ней нет ни одной аксиоме
ассоциативности, то структура называется моноидом (полугруппа).
В структуре 
с помощью отображения и аксиомами 1-8 задаётся свойство
линейности.
Итак, линейное пространство является групповым модулем, в структуру
которого добавлена еще одна операция - умножения элементов носителя на число с 4 аксиомами. Если вместо
операции задать наряду с еще одну групповую операцию 
умножения элементов с 4 аксиомами и
постулировать аксиому дистрибутивности, то возникает структуру 
, называемая полем.
Определение. Линейное нормированное пространство есть структура 
, в которой отображение 
удовлетворяет следующие аксиомами:
1. 
причём 
тогда и только тогда, когда 
.
2. 
, 
.
3. 
, 
.
И так в 
всего 11 аксиом.
Например, если в структуру поля вещественных чисел 
, где 
- действительные числа, добавить
модуль 
, 
, обладающий всеми тремя свойствами
нормы, то поле вещественных чисел становится нормированным пространством 
Распространены два способа введения нормы: либо путём явного задания интервального вида однородно-выпуклого функционала [17], [50], либо путём задания скалярного произведение [17], [50].
Пусть 
, тогда вид функционала можно задать бесчисленным количеством
способов, меняя величину 
:
1. 
, 
.
2. 
, 
.
3. 
, 
………………..
q. 
.
…………….
∞. 
.
Второй распространённый способ приём задания состоит в том, что в
структуру пространства вводится ещё одного отображение 
(функция двух аргументов, обычно
обозначаемое через 
и называемое скалярным произведением).
Определение. Евклидово пространство есть структура 
в которой скалярное произведение содержит норму и удовлетворяет
аксиомам:
1. 
;
2. 
;
3. 
.
4. 
, причём 
тогда и только тогда, когда 
В евклидовом пространстве норма порождается формулой
.
Из свойств 1 - 4 скалярного произведения следует, что выполняются все
аксиомы нормы. Если скалярное произведение в виде 
, то норма будет вычисляться по
формуле
Норму пространства 
невозможно задать с помощью скалярного произведения [17],
[50].
В пространствах со скалярным произведением появляются такие качества, которые отсутствуют в линейных нормированных пространствах (ортогональность элементов, равенство параллелограмма, теорема Пифагора, тожество Аполлония, неравенство Птолемея [76]. Введение скалярного произведения даёт способы более эффективного решения задач аппроксимации.
Определение. Бесконечная последовательность элементов 
в линейном нормированном
пространстве 
называется сходящейся по норме (просто сходящейся или
имеющей предел в ), если существует такой элемент 
, что для любого 
найдется номер 
, зависящий от 
такой , что при 
выполняется 
Определение. Последовательность элементов 
в 
называется фундаментальной, если для
любого существует номер , зависящий от , что любого и 
выполняются 
(Треногин Колмогоров, Канторович , с
48)
Определение. Банаховым пространством называется такая структура, 
, в которой любая фундаментальная
последовательность сходится по норме.