Дипломная (вкр): Оптимизационные методы оценки кредитоспособности предприятий

Определение. Гильбертовым пространством называется такая структура  в которой любая фундаментальная последовательность сходится по норме, порождённой скалярным произведением.

1.2.2 Норма матриц

Линейные операторы в конечномерных пространствах представляют из себя конечной размерности матрицы. Множество матриц определённого типа образуют носитель линейного пространства и при выборе нормы, становится линейным нормированным пространством.

Определение. Под нормой матрицы понимается действительное число , удовлетворяющее условиям:

а) , причем тогда и только тогда, когда ;

б)  ( - число) и, в частности, ;

в) ;

г)

норма называется канонической, если дополнительно выполняются следующие условия:

д) если , то , причём для скалярной матрицы  имеем |;

е) из неравенства  (A и В - матрицы) следует неравенство

. В частности, .

В дальнейшем для матрицы  произвольного типа рассматривают главным образом три легко вычисляемые нормы [26]:

1.      (m-норма);

2.      (l-норма);

3.       (-норма).

.2.3 Наилучшие приближения в линейном нормированном и гильбертовом пространстве

Здесь представлена задача построения наилучшего приближения на абстрактном языке. Пусть  является элементом линейного нормированного пространства . Необходимо найти наилучшее приближение этого элемента заданной линейной комбинацией  независимых элементов  [11]. Это означает что нужно найти элемент  такой, что

 (1.2)

Можно представить (1.2) следующим образом [11]:

.

Если существует такой элемент, то он является наилучшим приближением.

Теорема. Элемент наилучшего приближения в линейном нормированном пространстве существует.

Доказательство. Вследствие из неравенства треугольника (следствие соотношений)

Функция

является непрерывной функцией, зависящей от аргументов  при любом .  - евклидова норма . Функция  непрерывна на  и следовательно в некоторой её точке  достигает свой нижней грани  по сфере, причем , так как равенство  противоречит линейной независимости элементов . Для любого  справедлива оценка

.

Пусть . Функция  непрерывна на шаре ; следовательно, в некоторой точке шара  она достигает своей нижней грани . Вне этого шара выполняются отношения

.

Таким образом, вне этого шара

При всех возможных . Теорема доказана.

Элемент наилучшего приближения, вообще говоря, может быть несколько.

Пространство  называется строго нормированным, если из условия

,

Следует , .

В случае строго нормированного линейного пространства элемент наилучшего приближения единственен.

В гильбертовом пространстве элемент наилучшего приближения существует и единствен, и задача его нахождения сводится к решению задачи системы линейных уравнений или решения оптимизационной задачи [11].

Для получения целевой функции реализуют минимум следующего выражения

Для нахождения точки минимума можно использовать оптимизационные методы или получить систему линейных уравнений. В точке минимума должны выполняться условия  [11]. Имеем

Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно коэффициентов , соответствующих элементу наилучшего приближения [11].

, (4)

Определение. Пусть функция  ограничена снизу на множестве . Тогда число  называют нижней гранью  на , если 1)  при всех ; 2) для любого сколь угодно малого числа  найдётся точка , для которой . Если функция  неограничена снизу на , то в качестве нижней грани  на  принимается . Нижнюю грань  на  обозначает через  [37].

Если , то, очевидно, нижняя грань  на  совпадает с наименьшим значением этой переменой на , т.е. . Почеркнём, что  всегда существует [37].

1.3 Выпуклые множества

Теория выпуклых множеств и выпуклых функций играет фундаментальную роль в теории и методах решения экстремальных задач.

Определение. Множество  называется выпуклым, если для любых ,  и точка  принадлежит  при всех , . Иначе говоря, множество  и выпукло, если отрезок , соединяющий любые две точки ,  из , целиком лежит в . [18]

Все пространство , очевидно, образует выпуклое множество. Пустое множество и множество, состоящее из одной точки, удобно считать выпуклыми. Тогда из определения 1.3. непосредственно следует, что пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством. [18]

.4 Выпуклые функции

Рассмотрим основные понятия выпуклых функций, играющих важную роль в теории экстремальных задач.

1.4.1 Выпуклые функции одной переменной

Определение. Функция , определённая на отрезке , называется выпуклой на этом отрезке, если

при всех  и всех ,  [18]

Когда  пробегает отрезок , точки ,  на плоскости переменных  пробегают хорду АВ, соединяющую точки и на графике функции . Поэтому неравенство (1) имеет простой геометрический смысл: график выпуклой функции на любом отрезке , находится не выше хорды, соединяющей точки графика  и . Примерами функций, выпуклых на любом отрезке, могут служить функции , ,  [18], [39]

1.4.2 Выпуклые функции многих переменных

Рассмотрим некоторые определения и свойства выпуклых функций многих переменных.

Определение. Функция , определённая на выпуклом множестве , называется выпуклой на этом множестве, если

(1.3)

при всех  и всех , .

Определение. Если в (1.3) при  равенство возможно только при  и , то функция  называется строго выпуклой на  [18].

Теорема. Пусть  - выпуклое множество, а функция  определена и выпукла на . Тогда всякая точка локального минимума  одновременно является точкой глобального минимума на , причём множество выпукло.

Если  строго выпукла на , то  содержит не более одной точки минимума. [18].

Теорема. Пусть  - выпуклое множество из , , пусть функция . Тогда для выпуклости  на  необходимо и достаточно, чтобы

(1.4)

При всех и всех  [18].

Замечание. Условие (1.4) представляет собой условие не отрицательности квадратичной формы

на . Имеется следующий простой алгебраический критерий не отрицательности квадратичной формы [18] для того чтобы квадратичная форма  при всех , необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы  были неотрицательны. Напоминаем, что главными минорами матрицы  называются всевозможные определители