Дипломная (вкр): Оптимизационные методы оценки кредитоспособности предприятий

Сравнение формул (1.12) и (1.13) показывает, что метод (1.12) решения задачи (1.6) в случае  представляет собой известный метод Ньютона для решения уравнения (то есть равносильно решения системы линейного уравнения).

1.5.2 О решении систем нелинейных уравнений в линейных нормированных пространствах с помощью метода Ньютона

Необходимые условия экстремума функции позволяет вместо экстремумов находить точки, в которых градиент функции равен нулю.

В [51] представлен способ выбора итерационного параметра в методе Ньютона, для расширения его области сходимости при решении систем нелинейных уравнений в линейных нормированных пространствах.

Пусть в некоторой области G конечномерного линейного нормированного пространства задана функция . Рассмотрим систему нелинейных уравнений

 (1.17)

Пусть дано - такое, что множество  принадлежит . Предположим, что уравнение (1.17) имеет единственное решение . Потребуем, чтобы в и в  отображение f удовлетворяло следующим условиям для всех

а) ; б)  в)  г)

Отображения  задаются формулами

Здесь  - класс дважды дифференцируемых функций, ,  - первая и вторая производные,  - линейное нормированное пространство матриц,  - билинейный оператор. В качестве нормы взята m-норма:

Известно, что при сформулированных условиях a) - г) существует область , содержащая , с любой точки которой  метод Ньютона

(1.18)

сходится к корню, однако диаметр области мал; достаточные условия сходимости процесса (1.18), сформулированные в «Основах вычислительной математики», Б.П. Демидович, И.А. Марон [26], позволяют выделить в общем случае область  c еще меньшим диаметром diam diam diam D₀, а сходимость итераций с произвольной точки  не гарантируется.

Определим следующий итерационный процесс:

(1.19)

 (1.20)

Теорема. Если выполняются условия а) - г), то процесс (1.19), (1.20) для системы (1.17) с любой точки x₀ Î D₀ за конечное число шагов j=l приводит к начальному приближению , начиная с которого процесс (1.19), (1.20) совпадает с методом Ньютона (1.18) и сходится к корню .

Доказательство. Пусть в точке х_j, j=l, l=0,1,…, выполняется условие  Все точки, для которых выполняется это условие, образуют множество, которое обозначим через  и докажем, что  Учитывая условие  из (1.20), получаем  и формула (1.19) на шаге j = l совпадает с формулой (1.18). Убедимся, что  Запишем формулу Тейлора

 (1.21)

где

,    .

В силу условия б) определения нормы - m и леммы 2 (Б.П. Демидович, И.А. Марон «Основы вычислительной математики») [26], согласно которой

получим оценку, подставив выражение для  в (1.21):

 (1.22)

Так как , то имеет место , которое совместно с (1.22) приводит к соотношению m_j+1 < m_j < 1. Это означает, что . Из (1.6.6) также следует, что члены последовательности  убывают быстрее, чем члены геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/4 и  откуда . Последовательность {x_j} фундаментальна:

Пусть теперь ,  j = 0. В силу (1.19) - (1.21) имеем

откуда вытекает оценка

Эта оценка показывает, что выполняется условие релаксации  и поэтому все x_j, j 0 принадлежат D₀. Из оценки и условия г) следует, что последовательность  убывает быстрее, чем геометрическая прогрессия со знаменателем

,

Следовательно, при некотором значении j = l знаменатель в (1.20) станет меньше единицы, а это означает, что  Теорема доказана.

1.6 Математический аппарат для оценки меры нечёткость множеств кредитоспособности предприятия

С появлением компьютера и двоичной логики, учёные сосредоточили своё внимание на все, что является точным, строгим и количественным. Тем не менее, качество точности и строгости иногда неудобно. В таких случаях вместо того, чтобы обращаться с числами, машины должны восстановить человеческого знания: то есть моделировать человеческое мышление [128], [129]. Классическое программирование требует чётких и точных определений, положительных или отрицательных ответов, так как оно основано на схемах, подчиняющихся булевой логики и теории множеств. Но эти теории оказываются недостаточными, когда мы хотим применить к трудно формализуемым проблемам.

Многие авторы в области искусственного интеллекта и особенно разработчики экспертных систем понимают сегодня, что неопределённость является не маргинальным явлением: большая часть информации, содержащейся в базе знаний экспертной системы, является неточной, неполной и не совсем ненадежной [131]. Вот почему, Л.А. Заде [130] предлагает другой подход, основанной на возможности количественно оценить качественные понятия: теория нечётких множеств, появилась в 1965 году. На ней основывается нечёткая логика (fuzzy logic). Именно благодаря Л.А. Заде теория нечётких множеств приобрела математическую формализацию.

Для изучения систем, на поведение которых сильное влияние оказывают суждения, восприятия или эмоции человека (гуманистические системы) Л.А. Заде предложил использовать так называемые лингвистические переменные [32], т. е. переменные, значениями которых являются слова или предложения естественного языка. Процесс оценки вероятности банкротства предприятия может быть описан в терминах теории нечётких множеств с использованием лингвистических переменных [46].

Лингвистическая переменная  есть конечный набор [44]:

, 

Применительно к задаче оценки вероятности банкротства предприятия переменным может быть приписан следующий содержательный смысл: - название переменной (вероятность банкротства p);  - множество значений (1.23) лингвистической переменной p.

Множество значений возможности банкротства предприятия может быть, например, следующим:

(1.23)

при этом каждому имени соответствует нечёткое подмножество , определённое на универсальном множестве  (), на котором задана переменная p; Таким образом, каждому из четырёх элементов T ставится в соответствие подмножество .  - синтаксическое правило, для образования имён новых значений переменной p («высокая», «не очень высокая», «слабая» степень достоверности суждения о вероятности банкротства);  - семантическое правило, позволяющая преобразовать имя, образованное процедурой G, в нечёткую переменную (задаёт вид функции принадлежности), ассоциирует имя с его значением, детализирующих возможности банкротства предприятия.

Функция принадлежности  - это функция, областью определения которой является носитель , (), а областью значений - единичный интервал [34]. Чем больше значение, тем выше оценивается степень принадлежности элемента носителя  нечёткому множеству . В нашем случае в качестве носителя выберем , на котором заданы множества  где  - вероятность банкротства предприятия, соответствующая значению , найденного с помощью модели Альтмана. На этом носителе определим функции принадлежности: для значения  - ,  - ,  - ,  - , причём первая из них отвечает нечёткому подмножеству , вторая - _, третья - , а четвертая - , где - «возможность банкротства высокая», - «возможность банкротства средняя»,  - «возможность банкротства небольшая», - «возможность банкротства маленькая».

Существует различные типовые формы для описания функций принадлежности. Наибольшее используемые в литературе являются треугольной, трапецеидальной и гауссова функции принадлежности.

Треугольная форма функции принадлежности определяется наборов чисел , и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:

Для трапецеидальной формы функции принадлежности определяется набором :

Функция принадлежности гауссова типа определяется формулой

,

Рисунок 1.1. Треугольная а) и трапецеидальная б) форма кусочно-линейные функции принадлежности.

где параметр c - центр нечёткого множества;  - крутизна функции

Рисунок 1.2. Гауссова вид функция принадлежности.

В дальнейшем в данном диссертационном исследовании, в качестве формы функции принадлежности используется трапецеидальная.

Построение меры нечёткости имеет важные практические и теоретические основы [105]. Этому понятию посвящено значительно много научных работ [105], [106], [107], в некоторых, за исключением [126], рассмотрены различные варианты построения мер нечёткости, удовлетворяющие требованиям, которые введены авторами работы [105].

Для определения степени нечёткости множества используется мера его нечёткости , сводящаяся к измерению меры различия между нечётким множеством  и чётким множеством  [34]. Мера нечёткости множества определяется как расстояние  от этого множества  до множества, ближайшего к нему четко заданного множества :  Чёткое подмножество , ближайшее к нечёткому  с функцией принадлежности , называют подмножество , характеристическая функция которого имеет вид [44]:

В данной диссертационной работе рассматриваются класс кусочно-линейных непрерывных функций принадлежности нечётких множеств, т.е. значительно более простой класс, содержащийся в Q[0,1], а в случае чётких множеств, у функции принадлежности имеется не более двух конечных разрывов на концах множества. Поэтому можем определить расстояние между множествами по формуле: