Материал: Основы электротехники. Часть 1. Цепи постоянного тока линейные цепи при гармонических воздействиях. Литвиненко В.П

Подставляя в уравнения законов Кирхгофа компонентные уравнения, получим

Подставляя полученные токи во второе уравнение, можно записать соотношение

из которого определяется ток индуктивности

Остальные токи равны

В результате вычислений (проделайте их самостоятельно) получим

По закону Ома (из компонентных уравнений) нетрудно вычислить напряжения на элементах цепи,

Как видно напряжения на индуктивности L и сопротивлении R2 одинаковы, так как они соединены параллельно.

Кроме того, начальные фазы токов и напряжений в сопротивлениях совпадают, а разность фаз между напряжением и током

ние на индуктивности опережает ток через нее на 900. Подставьте полученные результаты в уравнения перво-

го и второго законов Кирхгофа и убедитесь, что они выполняются. Постройте векторную диаграмму токов и напряжений в цепи рис. 6.3.

120

6.4. Метод контурных токов

Как уже отмечалось в подразделе 3.4, метод контурных токов базируется на уравнениях второго закона Кирхгофа для p q 1 независимых контуров, где p - общее число ветвей цепи. Для выбранных независимых контуров вводятся обозначения и задаются положительные направления p q 1 ком-

плексных амплитуд кольцевых контурных токов I kk , k -

номер контура (используется двойная индексация, чтобы не путать контурные токи с токами ветвей).

Через контурные токи выражаются токи всех ветвей цепи и по закону Ома определяются напряжения ветвей, а затем записываются уравнения второго закона Кирхгофа для контуров, не содержащих идеальные источники тока. Для контуров с идеальными источниками тока записываются уравнения связи контурных токов и тока источника.

Система содержит p q 1 уравнений для комплекс-

ных амплитуд контурных токов. По найденным контурным токам определяются искомые токи или напряжения ветвей.

и противоположен I 22 ), аналогично ток I 2 создается разно-

тогда по второму закону Кирхгофа для первого и второго контуров получим

Для третьего контура с идеальным источником тока уравнение второго закона Кирхгофа не составляется.

В результате система уравнений метода контурных токов примет вид

R1 I11 j L(I11 I 22 ) E,

R2 (I 22 I 0 ) j L(I11 I 22 ) 0.

122

Выразим из первого уравнения ток I11 и подставим его во второе уравнение, из которого определим ток I 22 , в результате найдем контурные токи

Как видно, выражение для тока I11 совпадает с полученной ранее формулой для тока ветви I1 , для которого получаем

а для остальных токов ветвей можно записать

123

Полученные токи ветвей совпадают с токами, полученными ранее общим методом расчета по уравнениям Кирхгофа. Вычислив их, можно найти напряжения на элементах цепи. Проведите самостоятельно все необходимые вычисления.

Решить систему уравнений метода контурных токов численно можно с помощью пакета программ MathCAD. Листинг программы показан на рис. 6.5. Расчет проводится с помощью символических вычислений MathCAD, так как коэффициенты системы уравнений комплексные.

Результаты расчета – значения контурных токов - содержатся в векторе X , I11 X 0 , I 22 X1 . Далее проводится

вычисление комплексных амплитуд токов ветвей. Полученные значения совпадают с полученными ранее общим методом расчета по уравнениям Кирхгофа.

общего метода расчета цепи по уравнениям Кирхгофа.

6.5. Метод узловых напряжений (потенциалов)

Как уже отмечалось в подразделе 3.5 (повторите этот материал), метод узловых напряжений базируется на первом законе Кирхгофа. В цепи выделяются q 1 потенциальных

узлов, последний q -й узел объявляется базисным (ему при-

сваивается нулевой потенциал, он отмечается символом «земля»), а для остальных задаются узловые напряжения (потен124

циалы) с положительным направлением в базисный узел.

Рис. 6.5.

125

Через узловые напряжения с помощью закона Ома и второго закона Кирхгофа выражаются токи всех ветвей цепи, которые подставляются в q 1 уравнений первого закона

Кирхгофа, в результате получается система уравнений метода узловых напряжений.

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 6.3 при тех же исходных данных и зададим в ней узловые напряжения, как показано на рис. 6.6. Из

Для расчета цепи методом узловых напряжений необходимо определить комплексные амплитуды источников и комплексные сопротивления элементов.

По закону Ома для комплексных амплитуд токов I L и I 2 можно записать

По первому закону Кирхгофа для узла 1 получим

I1 I L I 2 I0 .

Подставляя в это уравнения токи ветвей, выраженные через узловое напряжение, получим уравнение метода узловых на-

пряжений в виде

Подставляя численные значения параметров и частоты, получим численное значение узлового напряжения

С помощью найденной величины U11 нетрудно вычис-

лить токи ветвей и напряжения на элементах цепи. Проведите эти расчеты самостоятельно, сравните результаты с полученными ранее значениями.

Метод узловых напряжений требует составления и решения q 1 уравнений, тогда он будет эффективней метода контурных токов, если

p q 1 q 1, 127

и целесообразнее использовать метод узловых напряжений.

6.6. Метод (принцип) наложения

Метод (принцип) наложения можно сформулировать следующим образом.

Реакция цепи (ток или напряжение) на воздействие нескольких источников сигнала равна сумме реакций цепи на воздействие каждого источника в отдельности, при этом остальные источники должны быть выключены

– заменены своими внутренними сопротивлениями. Выключенный идеальный источник напряжения заменяется коротким замыканием, а идеальный источник тока – разрывом (холостым ходом) содержащей источник ветви.

Метод наложения применим только к линейной цепи. Исходная цепь с несколькими источниками представляется несколькими более простыми цепями с одним источником, что упрощает расчеты.

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 6.3. В ней два источника сигнала, тогда в соответствии с методом наложения, последовательно отключая источники, получим две цепи, по-

128