Материал: Основы электротехники. Часть 1. Цепи постоянного тока линейные цепи при гармонических воздействиях. Литвиненко В.П

8

Элементы с прямолинейной ВАХ называют линейными, а иначе – нелинейными. Аналогично рассматриваются емкостные элементы, для которых используют кулон – вольтную характеристику (зависимость накопленного заряда от приложенного напряжения), и индуктивные с использованием вебер - амперной характеристики (зависимости магнитного потока от протекающего через элемент тока).

1.4. Модели основных линейных элементов цепи

Основными линейными элементами электрической цепи являются резистор, конденсатор и катушка индуктивности. Их условно-графические обозначения показаны на рис. 1.3 (сверху указаны названия физических элементов, а внизу – их моделей).

Рис. 1.3.

Сопротивление (модель резистора) в соответствии с рис. 1.4 строится на основе закона Ома в классической формулировке,

где R - параметр модели, называемый со-

противлением, а G - проводимостью,

9

Как видно из (1.10), сопротивление – это линейный элемент (с прямолинейной ВАХ). Его параметр - сопротивление R - измеряется в Омах (Ом) или внесистемных единицах – килоомах (кОм), мегаомах (Мом) или гигаомах (ГОм). Проводимость G определяется выражением (1.11), обратна сопротивлению и измеряется в 1/Ом. Сопротивление и проводимость элемента не зависят от величин тока и напряжения.

В сопротивлении ток и напряжение пропорциональны друг другу, имеют одинаковую форму.

Мгновенная мощность электрического тока в сопротивлении равна

Как видно, мгновенная мощность в сопротивлении не может быть отрицательна, то есть сопротивление всегда потребляет мощность (энергию), преобразуя ее в тепло или другие виды, например, в электромагнитное излучение. Сопротивление – это модель диссипативного элемента, рассеивающего электрическую энергию.

Емкость (модель конденсатора) в соответствии с рис.1.5 формируется исходя из того, что накопленный в ней заряд пропорционален приложенному напряжению,

(1 мкФ = 10-6 Ф), нанофарадах (1 нФ = 10-9 Ф) и пикофарадах

(1 пФ = 10-12 Ф).

Подставляя (1.13) в (1.1), получим модель для мгно-

венных значений тока и напряжения

Из (1.14) можно записать обратное выражение для модели,

Мгновенная электрическая мощность в емкости равна

Если напряжение положительно и увеличивается с течением времени (его производная больше нуля), то мгновенная мощность положительна и емкость накапливает в себе энергию электрического поля. Аналогичный процесс имеет место, если напряжение отрицательно и продолжает уменьшаться.

Если же напряжение емкости положительно и падает (отрицательно и растет), то мгновенная мощность отрица-

тельна, а емкость отдает во внешнюю цепь ранее накоплен-

ную энергию.

Таким образом, емкость – это элемент, накапливающий электрическую энергию (подобно банке, в которой накапливается вода, и из которой она может выливаться), потери энер-

гии в емкости отсутствуют.

Накопленная в емкости энергия определяется выраже-

нием

11

Индуктивность (модель катушки индуктивности)

формируется исходя из того, что потокосцепление , равное произведению магнитного потока B (в веберах) на число витков катушки n , прямо пропорционально протекающему через нее току i (рис. 1.6),

(1 мкГн = 10-6 Гн) и наногенри (1 нГн = 10-9 Гн).

Изменение потокосцепления в индуктивности вызывает электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции e(t) , равную

и направленную противоположно току и напряжению, тогда u(t) e(t) и модель катушки индуктивности для мгновен-

ных значений тока и напряжения принимает вид

Можно записать обратное выражение модели,

12

Мгновенная электрическая мощность в индуктивности

равна

Если ток положителен и растет, или отрицателен и падает, то мгновенная мощность положительна и индуктивность накапливает в себе энергию магнитного поля. Если же ток индуктивности положителен и падает (отрицателен и растет), то мгновенная мощность отрицательна, и индуктивность отдает во внешнюю цепь ранее накопленную энергию.

Таким образом, индуктивность (как и емкость) – это элемент, только накапливающий энергию, потери энергии в индуктивности отсутствуют.

Накопленная в индуктивности энергия равна

1.5. Законы Ома для элементов цепи

Рассмотренные модели элементов электрической цепи, определяющие взаимосвязь между мгновенными значениями токов и напряжений, будем в дальнейшем называть законами Ома для элементов цепи, хотя собственно закон Ома относится лишь к сопротивлению.

Эти соотношения сведены в табл. 1.1. Они являются линейными математическими операциями и относятся только

клинейным элементам.

Внелинейных элементах связь между током и напряжением существенно сложнее и в целом может быть описана нелинейными интегро-дифференциальными уравнениями, для которых отсутствуют общие методы решения.

13

Таблица 1.1 Законы Ома в элементах цепи для мгновенных значений тока и напряжения.

1.6.Расчет тока и напряжения в элементах цепи

Вкачестве примера

14

Тогда в показанном на рис. 1.4. сопротивлении при R 1 кОм напряжение равно u(t) Ri(t) (рис. 1.8а) и мощ-

ность p(t) u(t)i(t) (рис. 1.8б). Формы временных диаграмм тока и напряжения в сопротивлении совпадают, а произведение двух прямолинейных зависимостей u(t) и i(t) дает параболические кривые изменения мощности p(t) .

Рис. 1.8.

В емкости (рис.1.5) C 1мкФ мгновенные значения тока и напряжения связаны между собой выражениями (1.14) или (1.15). Для тока (рис.1.7) вида (1.24) из

15

интеграл (1.25) записывается в виде

(1.17). Как видно, емкость только накапливает энергию, так как разряд не происходит (ток вида рис. 1.7 принимает только положительные значения).

Для получения формулы мощности p(t) необходимо перемножить выражения (1.24) и (1.26) на соответствующих временных интервалах (получим полином третьей степени t ).

16

Энергия w(t) определяется из (1.17) при подстановке (1.26), что приводит к полиномам четвертой степени t .

Рис. 1.10

Для индуктивности рис. 1.6 L 1 Гн при токе, показанном на рис. 1.7 напряжение u(t) определяется выражением

(1.20)

17

Мощность определяется выражением (1.22), тогда для p(t) в милливаттах получим

дуктивности энергия вычисляется по формуле (1.23), тогда график w(t) имеет вид, показанный на рис. 1.12б.

Рис. 1.12

Как видно, мгновенная мощность с ростом тока на интервале времени от 0 до 1мс прямо пропорционально увеличивается, а накопленная в индуктивности энергия растет по

ся отрицательными (рис. 1.11 и рис. 1.12а), а это означат, что индуктивность отдает ранее накопленную энергию, которая начинает снижаться по квадратичному закону (рис. 1.12б).

Расчет сигналов и энергетических характеристик в элементах цепи R, L и C можно провести с помощью программы MathCAD, программа содержится в файле RLC.mcd.

18