Документ: Основы электротехники. Часть 1. Цепи постоянного тока линейные цепи при гармонических воздействиях. Литвиненко В.П, страницы 51-55

Можно провести вычисление проводимости путем преобразования комплексного сопротивления из алгебраической формы в показательную,

1

2

arctg

1

Z R j

R2

e

2 fCR

2,227 104 e j 1,105Ом..

2 fC

Тогда для проводимости получим

Y

1

4,491 10 5 e j 1,105Сим.

Z

2,227 104

e 1,105

Сопротивление

параллельного

соединения

двух элементов с

сопротивлениями Z1 и Z 2 опре-

деляется выражением

Z

Z1 Z 2

Z1

Z 2

Комплексное сопротивление цепи со смешанным соединением элементов определяется следующим образом:

-в цепи выделяется фрагмент с простым (последовательным или параллельным) соединением элементов и определяется его сопротивление или проводимость;

-фрагмент заменяется эквивалентным элементом, в полученной цепи вновь выделяется простой фрагмент и повторяется предыдущее действие;

-эти действия повторяются до тех пор, пока цепь не трансформируется в один элемент с соответствующим сопротивлением или проводимостью.

99

Рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 5.2

при

R1

R2

1кОм,

C 1нФ,

106 рад/с и определим ее ком-

плексное сопротивление Z . В це-

пи выделяется простой парал-

лельный фрагмент из

элементов

R2C и определяется его сопро-

Рис. 5.2.

тивление Z 2 , равное

Z2

R2

.

j

C R2

1

j

R2C

j

C

Тогда параллельный

фрагмент

R2C

заменяется

эквивалент-

ным элементом с сопротивлением Z 2

и схема цепи принимает

вид, показанный на рис. 5.3.

Для полученной последовательной цепи ее сопротивле-

ние Z равно

Z

R1

Z 2

R1

R2

1

j

R2 C

.

Рис. 5.3.

Подставляя исходные данные, получим

Z 103

103

1500

j500Ом.

1 j 106

103 10 9

1

j

5.6.Характеристики комплексного сопротивления

ипроводимости

Полное комплексное сопротивление Z в показательной форме можно записать в виде

100

		Ue		j u		U
Z	U	Ue				U	e j ( u i ) .	(5.19)
Z	I			j			e j ( u i ) .	(5.19)
	I		Ie	j	i	I
					i

Модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд (действующих значений) напряжения и тока,

Z	U	.	(5.20)


	I

Аргумент комплексного сопротивления равен сдвигу фаз ме-

жду напряжением и током,

					u		i ,	(5.21)
Комплексная проводимость в показательной форме
имеет вид
Y	I		Ie	j	i		I e j ( i u ) ,	(5.22)

		Ue		j	u	U
	U	Ue				U

ее модуль равен отношению амплитуд (действующих значений) тока и напряжения,

	Z		U	,	(5.23)
			U
			I
			I
а аргумент – сдвигу фаз между током и напряжением,
		i		u .	(5.24)

Таким образом, комплексное сопротивление и проводимость характеризуют взаимосвязь амплитуд и начальных фаз напряжения и тока.

101

Представим комплексное сопротивление в алгебраической форме,

Z R jX ,

(5.25)

где R - активная а, X - реактивная составляющие комплексного сопротивления. Все величины в (5.25) измеряются в Омах.

Рассмотрим в качестве примера сопротивление цепи, показанной на рис. 5.2.

R

2

R

2

R 2 C

Z

R1

j

2

. (5.26)

1 j R2 C

R2 C 2

1

Как видно, активная R составляющая сопротивления Z равна

R

R1

R2

,

(5.27)

1

R2C 2

а реактивная X -

R 2 C

X

2

,

(5.28)

1

R2 C 2

и обе зависят от частоты сигнала.

Зависимости от частоты

активной R и реактивной

X

составляющих сопротивления для цепи рис. 5.2 показаны

на рис. 5.4. На низких частотах

0 емкость является раз-

рывом цепи и сопротивление Z

R1

R2

2000Ом. На высо-

ких частотах

емкость представляет собой короткое за-

мыкание (ее сопротивление стремится к нулю) и сопротивление цепи равно Z R1 1000Ом. И в том и другом случаях

реактивное сопротивление стремится к нулю.

102

При 106 рад/с получается ранее вычисленное значе-

ние Z 1500 j500Ом.

Рис. 5.4.

Аналогичный анализ проводимости цепи, показанной на рис. 5.2, проведите самостоятельно.

5.7. Комплексная мощность

Полная комплексная мощность S					определя-

ется выражением
	1		*	,	(5.29)
S	2	U	I	,	(5.29)
где I * Ie j i - комплексно-сопряженная					амплитуда
тока.

Это комплексная величина с действительной и мнимой частями,

S	1	Ue j u Ie j i	1	UIe j ( u i )	1	UI cos( )	j	1	UI sin( ) . (5.30)

2			2		2			2

Комплексная мощность измеряется в ВА (вольт-амперах). 103

Как видно, действительная (активная) составляющая комплексной мощности представляет собой среднюю мощ-

ность P , потребляемую двухполюсником,
P	1	UI cos( ) .	(5.31)
	2

Как уже отмечалось, активная мощность измеряется в ваттах. Мнимая (реактивная) составляющая Q комплексной

мощности равна

Q	1	UI sin( )	(5.32)
	2

и характеризует процессы накопления и обмена энергией с источником в реактивных элементах цепи. Эта мощность не расходуется цепью и измеряется в ВАр (вольт-амперы реактивные), она численно равна максимальной скорости запасания энергии в цепи. Реактивная мощность может быть положительной (при 0 ), при этом энергия запасается в магнитном

поле индуктивностей, или отрицательной (при 0 ) при на-

коплении энергии в электрическом поле емкостных элементов. Модуль комплексной мощности равен

S		1	UI	(5.33)
	2

и измеряется в ВА. Величину	S называют полной мощно-

стью, она определяется активной и реактивной мощностями,

S P2 Q2 .

(5.34)

Можно записать

104

P S cos( ) ,

(5.35)

величину cos( ) называют коэффициентом мощности. При

0 потребляемая мощность P максимальна и равна полной мощности S , а реактивная мощность Q равна нулю.

Если для вычисления мощности используются действующие значения напряжения и тока, то в приведенных соотношениях удаляется множитель 1/ 2 .

5.8. Расчет мощности, потребляемой двухполюсником

Зная комплексные амплитуды напряжения и тока, согласно (5.29), можно определить комплексную мощность, на-

пример,

5e

j100

10e

j 200

А получим, что сдвиг

при U

В и I

фаз

между

напряжением

и

током

равен

u

i

30 20

500 . Тогда комплексная мощность равна

1

j100

j 200

j500

ВА,

S

5e

10e

25e

2

активная составляющая (потребляемая мощность) -

P

Re S

25cos( 500 ) 16,07 Вт,

реактивная мощность –

QIm S 25sin( 500 ) 19,151 ВАр,

аполная мощность -

S 12 UI 25 ВА.

105

Отрицательная реактивная мощность свидетельствует о том, что цепь накапливает энергию в емкостном элементе. Так как

коэффициент мощности равен cos( ) cos( 500 ) 0,643 , то

потребляемая мощность существенно меньше полной. Мощности можно определить, зная комплексную ам-

плитуду напряжения (или тока) и комплексное сопротивление

(проводимость) цепи.

Рассмотрим цепь на рис.

5.2 с подключенным к ней

идеальным

источником

гармо-

нического напряжения e(t) , по-

казанную

на

рис.

5.5.при

R1

R2 1кОм,

C

1нФ,

Рис. 5.5.

e(t)

5 cos(106 t

300 ) В.

Ком-

плексная

амплитуда

E

ЭДС

5e

j 300

В, а

источника равна E

комплексное сопротивление цепи было определено ранее,

Z

R1

R2

1500

j500 Ом.

1

j R2 C

По закону Ома найдем комплексную амплитуду тока I ,

5e

j300

5e

j300

0

I

E

3,162e j11,56

мА,

Z

1500

j500

1,581 103 e j18,40

а полная комплексная мощность равна

2

5e

j300 2

25e

j 600

0

S

E

1,6 10 2 e j 41,56

ВА,

Z

1500

j500

1,581 103

e j18,40

или в алгебраической форме

106

	S 0,012 j0.01 ВА.
Таким образом, потребляемая цепью		мощность равна
P 0,012Вт,	реактивная мощность - Q	0,01 ВАр, а полная
мощность - S	0,016 ВА.

На практике наибольший интерес представляет определение мощности, которую потребляет цепь от одного или нескольких источников. Необходимо помнить, что в электрической цепи мощность потребляется только активными элементами – сопротивлениями.

Потребляемую мощность в цепи, содержащей несколько сопротивлений, можно определить, если известны амплитуды (действующие значения) токов или напряжений на этих элементах.

Мощность, потребляемая цепью, содержащей несколько сопротивлений, равна сумме мощностей, потребляемой каждым из этих элементах в отдельности.

Расчет токов и напряжений на элементах цепи будет

рассмотрен в дальнейшем.
В цепи с комплексным сопротивлением Z						R jX при
протекании через нее тока с		амплитудой			I	потребляемая
мощность равна
P	1	I	2	R .		(5.36)
P	2	I		R .		(5.36)
	2
Аналогично в цепи с		комплексной			проводимостью

Y G jB при наличии на ней напряжения с амплитудой U потребляемая мощность будет равна

P		1	U 2G .	(5.37)
	2

	107

5.9. Максимизация потребляемой мощности

Винженерной практике часто возникает необходимость обеспечить максимум активной мощности, передаваемой от источника сигнала в нагрузку.

Вкачестве примеров можно выделить задачу максимизации мощности на валу электродвигателя при питании его от силовой сети. Аналогичная проблема возникает при передаче высокочастотной мощности от выходного усилителя радиопередатчика в антенну для излучения электромагнитных волн (высокочастотная мощность стоит очень дорого как с экономической, так и с технической точки зрения).

Схема электрической цепи показана на рис. 5.6. В цепь

включен		реальный			источ-
ник напряжения с ком-
плексной амплитудой ЭДС
E	и	внутренним ком-

плексным			сопротивлением
Z R jX , к которому
подключена				нагрузка с
комплексным				сопротивле-
нием Z Н			RН	jX Н .
Рис. 5.6.	Необходимо				подоб-
рать	такое		сопротивление

нагрузки, при котором она потребляла бы от источника максимальную мощность.

Комплексная амплитуда тока в цепи I			равна
	E	E
I				,
I				,
	Z Z Н	R RН j( X X	Н )

тогда для амплитуды тока получим

108

Материал: Основы электротехники. Часть 1. Цепи постоянного тока линейные цепи при гармонических воздействиях. Литвиненко В.П

Смотрите также: