Документ: Основы электротехники. Часть 1. Цепи постоянного тока линейные цепи при гармонических воздействиях. Литвиненко В.П, страницы 56-60

		I			I					E					,		(5.38)
										E


							R	RН	2		X	X		2
									2					2
													Н
в выражение для потребляемой мощности примет вид
P	1	I	2	R		1			E 2 RН							,	(5.39)
P	2	I		R	Н	2 R		RН		2	X	X		2		,	(5.39)
					Н					2				2
														Н

так как мощность потребляется только в активном сопротив-

лении RН .

Необходимо определить максимум (5.39) по двум независимым переменным – активному RН и реактивному X Н со-

противлениям нагрузки. Как видно, величина	X Н	присутству-
ет только в знаменателе дроби и сумма X	X Н	возводится в

квадрат. Минимум знаменателя будет иметь место при условии

X X Н 0 или X Н X . (5.40)

Таким образом, реактивное сопротивление нагрузки должно быть по модулю равно реактивному сопротивлению источника и иметь противоположный характер (если у источника сопротивление индуктивно, то у нагрузки оно должно быть емкостным и наоборот). В результате получим

max P	1	E 2 RН			.	(5.41)
	2	R R		2
RН			Н

Максимум (5.41) по RН		можно найти, вычислив произ-

водную этой функции и приравняв ее нулю. В результате получим (проделайте это самостоятельно) условия, при которых

109

потребляемая нагрузкой мощность максимальна,

X Н	X ,	(5.42)
RН	R,

и соответствующую величину мощности

		E 2
P			.					(5.43)
P			.					(5.43)
max		8R
		8R
Зависимости мощности	в нагрузке				P	от	RН	при
		X		X Н	0 (сплошная ли-
	ния)			и	X	X Н		10 Ом
	(пунктирная линия) показа-
	ны на рис. 5.7 при R							10 Ом
	и E			1 В.
				Как видно, при от-
	клонении				от	оптимальных
	условий (5.42) потребляемая
	нагрузкой мощность замет-
Рис. 5.7.		но снижается.
				Рассмотрим			коэффи-

циент полезного действия (КПД) – отношение мощности в нагрузке к мощности, потребляемой от источника сигнала, равной

		1		E 2
PИСТ					.		(5.44)
PИСТ					.		(5.44)
			2 R	RН
тогда КПД равен
		P		RН		.	(5.45)
	PИСТ			R RН		.	(5.45)
	PИСТ			R RН
		110

Зависимость КПД от активной составляющей сопротивления нагрузки показана на рис. 5.8. Как видно, при условии передачи максимума мощности в нагрузку КПД равен 0,5 (50%), то есть половина мощности источника потребляется его же внутренним со-

Рис. 5.8. противлением (происходит нагрев источника). При повышении RН КПД увеличивается, однако при этом снижается мощ-

ность, передаваемая в нагрузку.

5.10. Задания для самостоятельного решения

Задание 5.1. Определите комплексные амплитуды гармонических сигналов

u(t)	3cos(100t	450 ) В, u(t)	10cos(103 t	/ 3) мВ
i(t)	5sin(3 105 t	300 ) мА, i(t)	0,4 sin(106 t	) А.

Задание 5.2. По заданной комплексной амплитуде определите мгновенные значения сигналов, их амплитуды и начальные фазы

			2 j4		2e	i 400	В,			j / 3	мВ,
U 2 j4		В, U		мВ, U				U 8e
I	7 j4 мА, I		j4 А, I 2 je i 400 мА,					I	25мкА.

Задание 5.3. Вычислите сумму, разность, произведение и ча-

стное комплексных чисел S1

и S

2 , результаты запишите в ал-

гебраической и показательной формах.

S1

4-j3

7-j4

-j

2

6e j 300

20+j3

8e

j / 4

S 2

-8+j2

-j5

j

-1-j

5+j2

10e j / 2

3e

j 600

111

Задание 5.4. Для чисел из задания 5.3 вычислите обратную величину 1/ S .

Задание 5.5. Для чисел из задания 5.3 вычислите их модуль и аргумент.

Задание 5.6. Найдите полное комплексное сопротивление Z и проводимость Y показанной на ри-

сунке цепи при R1	R2 10 кОм и
C 2 нФ на частоте	106 рад/c.

Задание 5.7. Вычислите полное комплексное сопротивление

Z	и проводимость Y	показанной на
рисунке цепи при R1		R2 2 кОм и
L	10мГн на частоте	105 рад/c.

Задание 5.8. Вычислите полное комплексное сопротивление

Z	и проводимость Y показанной на
рисунке		цепи	при	R1	1кОм,
L	1 мГн	и C	1нФ	на	частоте
	106 рад/c.

Задание 5.9. Определите полное комплексное сопротивление цепи из задания 5.8. Найдите формулы его активной и реактивной составляющих, постройте их графики в зависимости от частоты сигнала.

112

Задание 5.10. Вычислите мощность, потребляемую показанной на рисунке цепью при ЭДС ис-

точника	e(t) 5sin(106 t 300 ) В,
R1 R2	10 кОм и C 2 нФ

Задание 5.11. Определите мощность, потребляемую показанной на рисунке цепью от источника

тока i0 (t) 10cos(106 t	/ 3) мА при
R1 1кОм, L 1 мГн и C	1нФ.

113

6.РАСЧЕТ ГАРМОНИЧЕСКИХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ

6.1. Общие замечания

Втретьем разделе рассмотрены методы расчета цепей постоянного тока (повторите соответствующий материал). В этом случае цепи были резистивными, индуктивности и емкости отсутствовали.

Вцепях с гармоническими сигналами токи и напряжения определяются методом комплексных амплитуд, в рамках которого реализуются различные методы расчета. Все они ис-

пользуют комплексные амплитуды сигналов и комплексные сопротивления (проводимости) элементов цепи.

При расчетах не забывайте обозначать пропис-

ными буквами и отмечать точкой сверху комплексные амплитуды токов и напряжений, и записывать мнимую единицу перед реактивными сопротивлениями или проводимостями.

6.2. Расчет токов и напряжений на основе закона Ома

С помощью закона Ома можно определять токи и напряжения в сравнительно простых цепях с одним источником сигнала.

Расчет проводится следующим образом. Прежде всего, определяется комплексное входное сопротивление (или проводимость) цепи относительно точек ее подключения к источнику. Затем при известной ЭДС источника напряжения по закону Ома находится общий ток цепи, а при заданном источнике тока - общее напряжение на ее зажимах.

Далее цепь представляется как последовательное или параллельное соединение двухполюсников, и вычисляются ли-

114

бо напряжения на них, либо протекающие через них токи. Эти расчеты продолжаются до тех пор, пока не будут определены искомые токи или напряжения.

В качестве примера рассмотрим расчет токов и напряжений в цепи, показанной на рис. 6.1 при ЭДС источника

e(t) 5 cos(106 t

300 ) В,

R1

R2

1кОм и C

1нФ.

Определим общее

сопротивление цепи от-

носительно полюсов ис-

точника

(этот

расчет

проведен для цепи на

Рис. 6.1

рис. 5.5),

Z

R1

R2

1500

j500

Ом

1

j

R2C

и комплексную амплитуду ЭДС источника напряжения

5e

j 300

В,

E

тогда комплексная амплитуда общего тока цепи I1

равна

5e

j300

5e

j300

0

I1

E

3,162e

j11,56

мА.

Z 1500

j500

1,581 103 e j18,4

0

По закону Ома комплексная амплитуда U1

напряжения

на сопротивлении R1

запишется в виде

3,162e

j11,560

10

3

3,162e

j11,560

В.

U1

I1 R1

Напряжения на параллельно соединенных элементах R2

и C

115

одинаковы и их комплексные амплитуды равны

R2

1

R2

j

C

U 2

U C

I

1

I

j R2 C

R2

1

j

C

3,162 10

3

e

j11,560

103

1,232

j1,866 2,236e

j56,560

В.

1 j

По найденным напряжениям найдем токи в элементах R2 и C ,

j56,560

I 2

U 2

2,236e

2,236 10 3 e j 56,560 мA,

R

2

103

6

9

2,236e

j 56,560

2,236 10

3

e

j 33,440

мA.

IC

j CU C

j10 10

На рис. 6.2 показана векторная диаграмма токов и напряжений в цепи на рис. 6.1, построенная в пакете программ MathCAD (символические обозначения векторов и пунктирные линии их суммирования добавлены в с помощью программы Paint). Как видно из проведенных расчетов, численные значения напря-

жений U	1	и U	2	UC (в вольтах)

и токов I1 и I 2 (в миллиамперах)

соответственно одинаковы, поэтому отображающие их векторы на диаграмме совпадают.

Суммирование векторов (в соответствии с показанными на Рис.6.2. рис. 6.2 пунктирными линиями) подтверждает первый и второй

законы Кирхгофа.

116

6.3. Общий метод расчета по уравнениям Кирхгофа

В исследуемой цепи вводятся обозначения и задаются положительные направления всех токов и напряжений всех ветвей (элементов) цепи. Определяется число узлов q , число

ветвей p, не содержащих идеальные источники тока, и количество уравнений, которые необходимо составить по первому (q 1) и второму ( p q 1) законам Кирхгофа.

Затем для каждого элемента и ветви цепи по закону Ома записываются компонентные уравнения связи токов и напряжений, всего p уравнений. Для (q 1) узлов формируются

уравнения первого закона Кирхгофа, а для ( p q 1) независимых контуров – уравнения второго закона Кирхгофа, всего p топологических уравнений.

Выражая токи ветвей через напряжения из компонентных уравнений, и подставляя их в уравнения первого закона Кирхгофа, получим систему из p уравнений для напряжений

ветвей (метод напряжений ветвей). Если же выразить из компонентных уравнений напряжения ветвей через их токи и подставить их в уравнения второго закона Кирхгофа, то получим p уравнений для токов ветвей (метод токов ветвей).

Решение системы уравнений электрического равновесия цепи позволяет определить комплексные амплитуды всех токов и напряжений.

Рассмотрим пример цепи показанной на рис. 6.3 при

R1	R2 1кОм,	L 1 мГн,
e(t)	5 sin(106 t	200 ) В и

	i	0	(t) 10cos(106 t 100 ) мА.

	В ней введены обозначе-
	ния и заданы положитель-
Рис. 6.3.	ные направления всех то-
	ков и напряжений. Опре-

делим комплексные амплитуды сигналов источников, при этом

117

ЭДС источника напряжения необходимо преобразовать к виду

e(t)	5sin(106 t		200 )		5 cos(106 t			1100 ) мА,
тогда
				5e	j1100	В,
			E	5e		В,
			I0	10e j100 мА.
Запишем подсистему компонентных уравнений цепи,
U	1	R1 I1 ,	U 2	R2 I 2 ,			U L	j LI L .

В цепи на рис. 6.3 два узла ( q							2 ), поэтому по первому
закону Кирхгофа необходимо составить (q								1) 1 уравнение
		I1	I 2	I L	I0		0 .

Имеется три ветви p, не содержащих идеальные источники тока, тогда по второму закону Кирхгофа необходимо составить ( p q 1) 2 уравнений для контуров R1 , R2 , E и R2 L соответственно (обход контура по часовой стрелке),

U1		U L	E,

U	2	U L	0.

В результате получим систему уравнений цепи рис. 6.3,

U	1	R1 I1 ,	U	2	R2 I	2 ,	U L	j LI L ,

		I1	I 2		I L	I0	0 ,
			U1		U L	E,

			U	2	U L	0.

					118

Материал: Основы электротехники. Часть 1. Цепи постоянного тока линейные цепи при гармонических воздействиях. Литвиненко В.П

Смотрите также: